Mẹo hình dung tốt nhất khi học hình học không gian ở trường là đừng chỉ nhìn hình vẽ trong sách: dựng mô hình thật bằng que tăm và đất nặn, dùng góc phòng làm "hệ trục" sẵn có, tách từng mặt phẳng ra vẽ lại thành hình phẳng, và vẽ hình đúng quy ước (nét khuất vẽ đứt, đáy vẽ thành hình bình hành). Hình vẽ trên giấy là hình chiếu song song, nó luôn làm méo góc và độ dài; học sinh "không hình dung nổi" thường là vì đang cố đọc một vật ba chiều từ một bức ảnh phẳng mà không biết quy ước của nó.
Bài này không giải đề, mà đưa ra cách nhìn và công cụ để biến những bài hình chóp, lăng trụ, quan hệ song song vuông góc thành thứ "thấy được". Phù hợp cho học sinh trung học và phụ huynh muốn kèm con.
Vì sao hình học không gian khó
- Hình vẽ nói dối: góc vuông trong không gian thường được vẽ thành góc nhọn hoặc tù; hai đoạn bằng nhau có thể vẽ dài ngắn khác nhau; đường vuông góc với mặt phẳng trông như nghiêng.
- Một hình, nhiều cách đọc: giống khối Necker, hình chóp vẽ không có nét khuất rõ ràng có thể đọc thành "nhìn từ trên" hay "nhìn từ dưới".
- Thiếu kinh nghiệm với vật thật: nhiều học sinh ít dịp cầm, xoay, cắt khối hình trước khi gặp chúng trên giấy.
Tin tốt: các nghiên cứu về luyện kỹ năng không gian cho thấy đây là thứ cải thiện được nhanh, thường chỉ sau vài tuần luyện có chủ đích.
Quy ước vẽ hình: đọc cho đúng
| Quy ước | Nghĩa là | Đừng hiểu nhầm |
|---|---|---|
| Hình vẽ là hình chiếu song song | Đường song song vẫn vẽ song song; trung điểm vẫn là trung điểm | Góc và độ dài trên hình không đúng thật |
| Đáy hình vuông, hình chữ nhật vẽ thành hình bình hành | Đáy đang "nằm" trên mặt bàn, nhìn chếch từ trên xuống | Đáy không bị méo thật |
| Nét đứt | Cạnh bị che khuất | Không phải đường phụ hay đường dựng thêm |
| Đường cao vẽ thẳng đứng | Vuông góc với mặt đáy | Góc giữa nó và cạnh đáy trên hình không phải 90 độ |
Nguyên tắc vàng: tính chất song song, thẳng hàng, tỉ số trên cùng một đường được giữ đúng trên hình vẽ; còn góc và độ dài thì không. Dựa vào giả thiết, đừng dựa vào mắt.
Năm công cụ hình dung
1. Góc phòng là hệ trục có sẵn
Góc giữa sàn và hai bức tường là ba mặt phẳng đôi một vuông góc, ba đường giao nhau là ba trục vuông góc. Muốn hiểu "đường thẳng vuông góc với mặt phẳng", nhìn đường giao hai tường: nó vuông góc với sàn, nghĩa là vuông góc với mọi đường nằm trên sàn đi qua chân nó, không chỉ với hai mép tường. Muốn hiểu "hai mặt phẳng vuông góc", nhìn tường và sàn.
2. Mô hình que tăm và đất nặn
Mỗi viên đất nặn là một đỉnh, mỗi que tăm là một cạnh. Mười phút là dựng xong hình chóp tứ giác hay lăng trụ tam giác. Dùng que dài hơn làm đường chéo, đường cao; dùng que màu khác cho các đoạn cần chứng minh. Cầm mô hình xoay quanh, nhìn từ nhiều phía, đặc biệt từ góc mà hai đường "trông như cắt nhau" trên hình vẽ để thấy chúng thật ra chéo nhau.
3. Tách mặt phẳng ra vẽ phẳng
Phần lớn bài toán không gian quy về bài toán phẳng trong một mặt phẳng nào đó: một tam giác mặt bên, một mặt cắt, một tam giác vuông chứa đường cao. Khi bí, hãy:
- Chọn mặt phẳng chứa các điểm cần tính.
- Vẽ lại riêng mặt phẳng đó ra một góc giấy, đúng hình dạng thật (vuông thì vẽ vuông).
- Tính trên hình phẳng, rồi mang kết quả về hình không gian.
4. Mặt cắt bằng giấy
Với bài dựng thiết diện, cắt một tấm giấy cứng làm "mặt phẳng cắt" và cắm nó qua mô hình que tăm. Chỗ tấm giấy chạm cạnh nào là giao điểm. Cách làm này giúp thấy ngay vì sao thiết diện của hình chóp tứ giác có thể là tam giác hay tứ giác, và vì sao thiết diện lập phương có thể là lục giác.
5. Phần mềm hình học động
Các phần mềm hình học động miễn phí có chế độ ba chiều cho phép dựng hình chóp, kéo đỉnh, xoay toàn khối bằng chuột hay ngón tay, và đo góc, độ dài thật. Dùng chúng để kiểm tra hình dung của mình sau khi đã tự vẽ, không phải để thay thế việc tự vẽ.
Những hình dung hay gặp, nhìn cho ra
- Hai đường thẳng chéo nhau: trên hình vẽ chúng có thể trông như cắt nhau. Trên mô hình: một đường nằm ở mặt đáy, một đường là cạnh bên không đi qua đáy đó. Không cùng mặt phẳng, không bao giờ gặp.
- Hình chiếu của đỉnh chóp đều: rơi đúng tâm đáy. Treo một sợi chỉ có vật nặng từ đỉnh mô hình xuống: nó chạm tâm đáy.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: là góc giữa đường đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Lấy đèn pin chiếu thẳng từ trên xuống, bóng của que tăm nghiêng là hình chiếu, góc giữa que và bóng là góc cần tìm.
- Góc giữa hai mặt phẳng: mở một quyển sách đứng trên bàn. Góc giữa hai trang là góc giữa hai mặt phẳng, đo trên mặt phẳng vuông góc với gáy sách.
Thói quen học tập giúp ích
- Vẽ hình lớn, chiếm nửa trang, dùng thước. Hình nhỏ chật chội làm mọi thứ chồng lên nhau.
- Vẽ lại từ nhiều góc nếu hình rối: đổi đỉnh nhìn, đặt đáy khác xuống dưới.
- Tô màu các mặt phẳng quan trọng bằng bút nhạt.
- Luyện vẽ hình chiếu và hình trục đo vài phút mỗi ngày, như đã giới thiệu ở danh mục hình chiếu và bản vẽ.
- Giải thích cho người khác: kể bằng lời mặt phẳng nào, đường nào, vì sao vuông góc. Nói ra giúp phát hiện chỗ chưa hình dung được.
Góc nhìn hôm nay: bộ dụng cụ cho bàn học
- Một hộp que tăm (hoặc que xiên tre bẻ ngắn) và một khối đất nặn.
- Vài tấm bìa mỏng làm mặt phẳng cắt.
- Một đèn pin nhỏ để tạo hình chiếu.
- Một hình lập phương bằng mica hay hộp nhựa trong suốt, có thể vẽ bút dạ lên mặt.
- Giấy kẻ ô tam giác để luyện vẽ hình trục đo.
Tổng chi phí rất thấp, nhưng nhiều học sinh kể rằng chỉ cần dựng mô hình vài bài đầu, những bài sau đã "thấy" được hình mà không cần mô hình nữa.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao để hình dung tốt hình học không gian?
Dựng mô hình thật bằng que tăm và đất nặn, dùng góc phòng làm hệ trục, tách mặt phẳng cần tính ra vẽ lại đúng hình dạng thật, dùng tấm bìa làm mặt cắt, và đọc hình vẽ đúng quy ước của hình chiếu song song.
Vì sao hình vẽ hình học không gian trông sai góc?
Vì hình vẽ là hình chiếu song song của vật ba chiều lên giấy. Nó giữ đúng tính song song và tỉ số trên một đường thẳng, nhưng không giữ góc và độ dài. Cần dựa vào giả thiết chứ không dựa vào mắt.
Nét đứt trong hình học không gian có nghĩa gì?
Nét đứt biểu diễn các cạnh bị che khuất khi nhìn vật từ hướng đã chọn. Nó không phải đường phụ, và giúp phân biệt mặt nào ở trước, mặt nào ở sau.
Hai đường thẳng chéo nhau là gì, nhìn thế nào?
Là hai đường không cùng nằm trong một mặt phẳng nên không cắt nhau và không song song. Trên hình vẽ chúng có thể trông như cắt nhau; dựng mô hình que tăm và xoay sẽ thấy rõ chúng không gặp nhau.
Có nên dùng phần mềm hình học 3D khi học không?
Nên dùng để kiểm tra lại hình dung sau khi đã tự vẽ, vì phần mềm cho xoay khối và đo góc thật. Nhưng không nên để nó thay thế hoàn toàn việc tự vẽ và tự dựng mô hình.