Cắt một hình lập phương bằng một mặt phẳng, mặt cắt có thể là tam giác, tứ giác (vuông, chữ nhật, hình thang, hình thoi), ngũ giác hoặc lục giác. Bất ngờ nhất là lục giác đều: khi mặt phẳng đi qua tâm và vuông góc với đường chéo chính, nó cắt sáu cạnh tại trung điểm. Ngược lại, mặt cắt không bao giờ là ngũ giác đều hay hình có bảy cạnh trở lên.
Mặt cắt là bài kiểm tra khó nhất của trí tưởng tượng không gian, vì ta phải "nhìn vào bên trong" khối. Nó cũng là kỹ năng nền của bác sĩ đọc phim chụp cắt lớp, kỹ sư đọc bản vẽ, thợ mộc xẻ gỗ.
Vì sao tối đa sáu cạnh
Mỗi cạnh của mặt cắt nằm trên một mặt của hình lập phương. Mặt phẳng cắt mỗi mặt của hình lập phương nhiều nhất theo một đoạn thẳng. Hình lập phương có sáu mặt, nên mặt cắt có nhiều nhất sáu cạnh. Lập luận này áp dụng cho mọi khối đa diện lồi: mặt cắt không thể có nhiều cạnh hơn số mặt của khối. Tứ diện chỉ cho mặt cắt tam giác hoặc tứ giác.
Bảng các mặt cắt của hình lập phương
| Mặt cắt | Mặt phẳng đi thế nào | Có thể là hình đều không |
|---|---|---|
| Tam giác | Cắt gọn một góc, qua ba cạnh chung đỉnh | Có: tam giác đều khi cắt cách đỉnh bằng nhau trên ba cạnh. Mặt cắt tam giác luôn là tam giác nhọn |
| Hình vuông | Song song với một mặt | Có |
| Hình chữ nhật | Song song với một cạnh, nghiêng so với mặt (ví dụ qua hai cạnh song song nằm đối xứng nhau qua tâm) | — |
| Hình thang | Cắt qua hai cạnh song song nhưng ở hai độ cao khác nhau | — |
| Hình thoi | Qua hai đỉnh đối nhau qua tâm và trung điểm hai cạnh | Không thành hình vuông theo cách này |
| Ngũ giác | Cắt qua năm mặt | Không bao giờ là ngũ giác đều |
| Lục giác | Cắt qua cả sáu mặt | Có: lục giác đều khi qua tâm và vuông góc đường chéo chính |
Vì sao không có ngũ giác đều
Sáu mặt hình lập phương chia thành ba cặp song song. Mặt cắt ngũ giác đi qua năm mặt, nên chắc chắn đi qua ít nhất hai cặp mặt song song. Một mặt phẳng cắt hai mặt song song theo hai đoạn thẳng song song. Vậy ngũ giác này có ít nhất hai cặp cạnh song song. Ngũ giác đều thì không có cặp cạnh nào song song. Mâu thuẫn, nên không có ngũ giác đều.
Lục giác đều: hình dung từng bước
Đây là mặt cắt khiến nhiều người ngạc nhiên. Hình dung như sau:
- Cầm hình lập phương sao cho một đỉnh chĩa thẳng lên trời, đỉnh đối diện chạm bàn. Đường nối hai đỉnh này là đường chéo chính.
- Nhìn từ trên xuống, hình lập phương lúc này có đường viền là một lục giác đều.
- Giờ dùng một mặt phẳng nằm ngang cắt ngang giữa độ cao. Mặt phẳng này cắt sáu cạnh "xiên" ở giữa, mỗi cạnh đúng tại trung điểm.
- Sáu trung điểm này tạo thành lục giác đều, cạnh dài bằng cạnh hình lập phương chia cho √2.
Nếu hạ mặt phẳng ngang đó xuống thấp dần, mặt cắt chuyển từ lục giác (cạnh dài cạnh ngắn xen kẽ) thành tam giác đều ở gần đỉnh dưới. Đây là cách hay nhất để thấy các mặt cắt "biến hình" liên tục.
Mặt cắt của các khối khác
Hình nón và ba đường conic
Cắt hình nón bằng mặt phẳng cho những đường cong nổi tiếng mà Apollonius thành Perga nghiên cứu khoảng năm 200 trước Công nguyên trong bộ sách Conics:
- Mặt phẳng vuông góc trục: đường tròn.
- Nghiêng nhẹ: elip.
- Song song với một đường sinh: parabol.
- Dốc hơn nữa, cắt cả hai nhánh nón: hyperbol.
Gần hai nghìn năm sau, Kepler phát hiện các hành tinh chuyển động theo elip, và Newton chỉ ra mọi quỹ đạo dưới lực hấp dẫn đều là một trong các đường conic này.
Hình trụ
Cắt vuông góc trục được hình tròn, cắt nghiêng được elip, cắt song song trục được hình chữ nhật. Cắt một khúc chuối hay xúc xích nghiêng dao là thấy ngay hình elip.
Hình cầu
Mọi mặt cắt của hình cầu đều là hình tròn. Mặt cắt qua tâm cho đường tròn lớn nhất, gọi là đường tròn lớn, như đường xích đạo.
Mặt cắt trong đời sống và nghề nghiệp
- Chụp cắt lớp (CT) và cộng hưởng từ (MRI): cho ra hàng trăm lát cắt mỏng của cơ thể. Bác sĩ phải ghép chúng lại trong đầu thành hình ba chiều để biết khối u nằm ở đâu.
- Bản vẽ kỹ thuật: hình cắt và mặt cắt cho thấy bên trong một chi tiết máy, lỗ khoan, rãnh.
- Địa chất: lát cắt địa tầng cho biết các lớp đá dưới mặt đất.
- Bếp: người làm bánh nhìn mặt cắt bánh để biết lớp kem, lớp bông lan có đều không.
Góc nhìn hôm nay: cắt thật để thấy
- Củ khoai, quả táo: gọt một củ khoai tây thành hình lập phương xấp xỉ. Dùng dao cắt các kiểu: song song mặt, cắt một góc, cắt chéo. Thử tìm lát lục giác bằng cách đánh dấu trung điểm sáu cạnh trước khi cắt.
- Đất nặn: nặn khối lập phương, dùng dây chỉ kéo căng để cắt cho mặt cắt phẳng.
- Bể nước: đổ nước màu vào một hộp nhựa trong hình lập phương đã đậy kín, nghiêng hộp theo các góc. Mặt nước chính là một mặt cắt nằm ngang. Đặt hộp đứng trên một đỉnh và đổ nửa hộp nước sẽ thấy mặt nước là lục giác đều.
- Đèn pin: chiếu đèn pin lên tường, nghiêng dần. Vùng sáng chuyển từ tròn sang elip rồi parabol, đúng là mặt cắt của chùm sáng hình nón.
Câu hỏi thường gặp
Mặt cắt của hình lập phương có thể là những hình gì?
Có thể là tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang, hình thoi, ngũ giác hoặc lục giác. Không thể có mặt cắt bảy cạnh trở lên vì hình lập phương chỉ có sáu mặt.
Làm sao cắt hình lập phương được lục giác đều?
Cho mặt phẳng đi qua tâm hình lập phương và vuông góc với một đường chéo chính. Mặt phẳng đó cắt sáu cạnh tại đúng trung điểm, sáu điểm này tạo thành lục giác đều.
Mặt cắt hình lập phương có thể là ngũ giác đều không?
Không. Mặt cắt ngũ giác đi qua ít nhất hai cặp mặt song song nên có ít nhất hai cặp cạnh song song, trong khi ngũ giác đều không có cạnh nào song song.
Cắt hình nón được những hình gì?
Được đường tròn, elip, parabol và hyperbol tuỳ góc nghiêng của mặt phẳng, gọi chung là các đường conic. Apollonius thành Perga đã nghiên cứu chúng từ khoảng năm 200 trước Công nguyên.
Mặt cắt của hình cầu luôn là hình gì?
Luôn là hình tròn, dù cắt ở đâu. Mặt cắt đi qua tâm cho đường tròn lớn nhất, gọi là đường tròn lớn.