Cầu thang Penrose là hình vẽ bốn đoạn cầu thang nối thành một vòng vuông, đi theo một chiều thì mãi đi lên, đi theo chiều ngược lại thì mãi đi xuống, vậy mà vẫn quay về đúng bậc xuất phát. Lionel và Roger Penrose công bố hình này năm 1958. Hai năm sau, M. C. Escher dựng nó thành bản in Đi lên và đi xuống (1960), với hai hàng người diễu bước vô tận trên nóc một toà tu viện.
Cũng như tam giác Penrose, cầu thang này chỉ tồn tại trên giấy. Bài này giải thích vì sao nó lừa được mắt, Escher đã khai thác nó thế nào, và những phiên bản "âm thanh" và "điện ảnh" của cùng một ý tưởng.
Cách cầu thang "đánh lừa"
Hình vẽ cho thấy một vòng cầu thang hình vuông, nhìn từ trên cao chếch xuống. Mỗi đoạn có vài bậc, mỗi bậc rõ ràng cao hơn bậc trước. Rẽ góc, đoạn tiếp theo tiếp tục đi lên. Sau bốn đoạn, ta về chỗ cũ.
Trong thực tế, tổng độ cao đi lên của một vòng khép kín phải bằng không. Hình vẽ né điều này bằng một mẹo của phép chiếu: các bậc được vẽ trong hình chiếu song song (giống hình chiếu trục đo), không có điểm tụ, nên mắt không có manh mối nào để so độ cao tuyệt đối giữa các góc xa nhau. Mắt chỉ so từng bậc với bậc kế bên, mà cặp nào cũng đúng.
Tìm "chỗ gãy"
Nếu cố tìm, sẽ thấy ở một chỗ nào đó trên vòng, hình vẽ "giấu" một bước nhảy độ cao: một đoạn tường bên ngoài, một mép sàn, cho phép điểm cao nhất nối với điểm thấp nhất mà mắt không để ý. Giống tam giác Penrose, che một phần của vòng thì phần còn lại hoàn toàn có thể là một cầu thang thật.
Bản in Đi lên và đi xuống của Escher
Escher nhận được bài báo của cha con Penrose (Roger Penrose từng xem triển lãm của Escher năm 1954 và lấy cảm hứng từ đó) và tạo ra bản in thạch bản Ascending and Descending năm 1960:
- Cầu thang Penrose nằm trên nóc một toà nhà kiểu tu viện, nhìn từ trên cao.
- Hai hàng người mặc áo choàng như tu sĩ: một hàng đi theo chiều kim đồng hồ, mãi đi lên; hàng kia ngược chiều, mãi đi xuống.
- Hai nhân vật đứng tách riêng: một người ngồi trên bậc ở sân dưới, một người tựa lan can, không tham gia vòng diễu hành. Escher từng giải thích họ là những người "không chịu" nhập vào nghi thức vô nghĩa.
Để toà nhà xung quanh trông hợp lý, Escher phải khéo léo bố trí các tầng mái, tường và cửa sổ sao cho bước nhảy độ cao bị giấu vào kiến trúc. Đây là một bài toán hình dung rất khó: ông phải dựng một toà nhà "gần như có thật" quanh một vật không thể có.
Bản in Thác nước: cùng ý tưởng bằng nước chảy
Năm 1961, Escher làm bản in Thác nước (Waterfall), dựa trên tam giác Penrose. Nước chảy theo một con kênh zíc zắc đi xuống dần, rồi tới cuối kênh đổ xuống thành thác, quay bánh xe cối xay, và... trở về đầu kênh ở độ cao ban đầu. Một cỗ máy chuyển động vĩnh cửu trên giấy. Hai tháp hai bên được trang trí bằng những khối đa diện phức tạp, cho thấy niềm say mê hình học của Escher.
| Tác phẩm | Năm | Vật bất khả dùng | Ý tưởng |
|---|---|---|---|
| Belvedere | 1958 | Khối lập phương bất khả | Cột trước thành cột sau, thang dựng trong mà dựa ngoài |
| Đi lên và đi xuống | 1960 | Cầu thang Penrose | Đi mãi không đến đâu |
| Thác nước | 1961 | Tam giác Penrose | Nước chảy xuống mà quay về chỗ cao |
Phiên bản âm thanh: thang âm Shepard
Năm 1964, nhà tâm lý học Roger Shepard tạo ra một hiệu ứng âm thanh tương tự cầu thang Penrose: thang âm Shepard. Mỗi nốt là tổng của nhiều âm cách nhau một quãng tám, với âm lượng thấp ở hai đầu cao và trầm, lớn ở giữa. Khi chơi nối tiếp các nốt đi lên, người nghe có cảm giác cao độ cứ tăng mãi, dù thực ra chuỗi lặp lại. Nhà soạn nhạc Jean-Claude Risset phát triển phiên bản trượt liên tục. Hiệu ứng này được dùng trong nhạc phim để tạo cảm giác căng thẳng không dứt.
Đây là ví dụ đẹp cho thấy cùng một "mẹo" của não, chỉ so từng bước với bước kế bên mà không giữ thước đo tuyệt đối, xuất hiện ở cả thị giác lẫn thính giác.
Trên màn ảnh và trong thiết kế
- Phim Inception (2010): có cảnh nhân vật đi trên cầu thang Penrose dựng bằng một bộ cầu thang thật và góc máy đặt đúng chỗ, giống cách dựng tam giác Penrose ở Perth.
- Thiết kế nội thất và triển lãm: một số bảo tàng khoa học và triển lãm ảo giác dựng mô hình cầu thang Penrose chỉ đúng từ một ô nhìn.
- Đồ hoạ: nhiều phần mềm dựng hình và ứng dụng giải đố trên điện thoại khai thác hình chiếu song song để tạo đường đi bất khả.
Bài học về hình dung không gian
Cầu thang Penrose cho thấy nhận thức chiều sâu của ta rất "cục bộ": đúng ở từng chỗ, nhưng không có cơ chế tự động kiểm tra tính nhất quán toàn cục. Đây cũng là lý do người đọc bản vẽ kỹ thuật phải dò kỹ từng đường qua nhiều hình chiếu: một bản vẽ có thể "trông hợp lý" ở từng chỗ mà vẫn mô tả một vật không thể gia công.
Góc nhìn hôm nay: tự vẽ cầu thang Penrose
- Trên giấy kẻ ô tam giác, vẽ một hình vuông "nằm" theo kiểu trục đo (hình thoi).
- Dọc bốn cạnh, vẽ các bậc: mỗi bậc là một ô nhỏ nâng lên so với ô trước theo chiều đi.
- Ở góc thứ tư, vẽ bậc cuối "chạm" bậc đầu. Mẹo: bậc ở hai cạnh gần người xem vẽ cao hơn, ở hai cạnh xa vẽ ngắn hơn, cho tới khi khớp.
- Thêm tường bao bên ngoài để giấu chỗ gãy. Đưa cho người khác xem và hỏi họ có thấy vấn đề không.
Bảo tàng Escher in Het Paleis ở thành phố La Haye (Hà Lan) trưng bày nhiều bản in gốc của Escher, kể cả Đi lên và đi xuống và Thác nước.
Câu hỏi thường gặp
Cầu thang Penrose là gì?
Là hình vẽ bốn đoạn cầu thang nối thành vòng, đi một chiều thì luôn đi lên, chiều ngược lại thì luôn đi xuống, nhưng vẫn về bậc xuất phát. Lionel và Roger Penrose công bố năm 1958. Nó không thể tồn tại như một vật thật khép kín.
Vì sao cầu thang Penrose đánh lừa được mắt?
Vì hình vẽ bằng phép chiếu song song không có điểm tụ, mắt chỉ so từng bậc với bậc bên cạnh mà không có thước đo độ cao tuyệt đối. Chỗ gãy độ cao được giấu khéo vào tường hoặc mép sàn.
Bức tranh Đi lên và đi xuống của Escher vẽ gì?
Là bản in thạch bản năm 1960, vẽ cầu thang Penrose trên nóc một toà nhà kiểu tu viện, với hai hàng người diễu bước vô tận, một hàng mãi đi lên và một hàng mãi đi xuống.
Thang âm Shepard là gì?
Là ảo giác âm thanh do Roger Shepard tạo năm 1964, chuỗi nốt nghe như đi lên mãi dù thực ra lặp lại. Nó là phiên bản âm thanh của cầu thang Penrose.
Cầu thang trong phim Inception được làm thế nào?
Cảnh cầu thang Penrose trong phim được dựng bằng một bộ cầu thang thật và góc máy đặt đúng vị trí, sao cho chỗ hở giữa hai đoạn trùng lên nhau trên khung hình, tương tự cách dựng tượng tam giác Penrose.