Trên bản đồ Mercator, đảo Greenland trông to gần bằng châu Phi, nhưng thực tế châu Phi rộng hơn Greenland khoảng mười bốn lần. Lý do: phép chiếu Mercator, do nhà bản đồ học Gerardus Mercator công bố năm 1569, giữ đúng góc và hình dạng ở từng vùng nhỏ để người đi biển vẽ được đường thẳng theo một hướng la bàn cố định, và cái giá phải trả là diện tích bị phóng to rất mạnh khi càng xa xích đạo. Ở vĩ độ 60 độ, mọi thứ bị phóng gấp bốn lần về diện tích.
Đây là ví dụ tiêu biểu cho một sự thật hình học: không có cách nào trải mặt cầu ra mặt phẳng mà giữ đúng mọi thứ. Bài này giải thích Mercator làm gì, vì sao nó vẫn được dùng, và các phép chiếu khác lựa chọn đánh đổi thế nào.
Mercator và bài toán của người đi biển
Gerardus Mercator (1512 – 1594) là nhà bản đồ học người Flanders (thuộc Bỉ ngày nay). Năm 1569, ông xuất bản một tấm bản đồ thế giới lớn với tiêu đề dành "cho việc đi biển". Bài toán ông giải quyết:
- Người đi biển thời ấy lái tàu theo một hướng la bàn cố định, ví dụ luôn đi về hướng đông bắc. Trên quả địa cầu, đường đi đó là một đường xoắn ốc tiến dần về cực, gọi là đường tà hành (loxodrome hay rhumb line).
- Mercator muốn một bản đồ phẳng trên đó mọi đường tà hành là đường thẳng. Khi đó, thuyền trưởng chỉ cần kẻ thước từ cảng đi tới cảng đến, đo góc với đường kinh tuyến, là biết hướng la bàn cần giữ.
Để làm được, các kinh tuyến (vốn hội tụ ở hai cực) phải được vẽ thành những đường thẳng đứng song song. Điều đó kéo giãn bản đồ theo chiều ngang, càng gần cực càng giãn nhiều. Để giữ hình dạng không bị bẹp, Mercator kéo giãn theo chiều dọc với đúng tỉ lệ như chiều ngang. Kết quả là mọi vùng nhỏ giữ đúng hình dạng, nhưng to ra rất nhiều ở vĩ độ cao. Mercator tìm ra cách giãn gần đúng bằng thực nghiệm; công thức toán học chính xác được Edward Wright công bố năm 1599.
Phóng to bao nhiêu
| Vĩ độ | Ví dụ | Hệ số phóng chiều dài | Hệ số phóng diện tích |
|---|---|---|---|
| 0° | Xích đạo | 1 | 1 |
| khoảng 21° | Hà Nội | khoảng 1,07 | khoảng 1,15 |
| 30° | Cairo | khoảng 1,15 | khoảng 1,33 |
| 45° | Bắc Ý | khoảng 1,41 | 2 |
| 60° | Oslo, Helsinki | 2 | 4 |
| khoảng 72° | Giữa Greenland | khoảng 3,2 | khoảng 10 |
| 90° | Cực | Vô hạn | Vô hạn |
Vì hệ số tăng tới vô hạn ở cực, bản đồ Mercator luôn bị cắt ở khoảng 80 – 85 độ vĩ. Nam Cực trông như một dải băng khổng lồ trải dọc mép dưới.
So sánh diện tích thật
- Greenland khoảng 2,2 triệu km²; châu Phi khoảng 30 triệu km². Châu Phi lớn hơn khoảng 14 lần.
- Alaska trông to ngang toàn bộ nước Mỹ phía dưới, nhưng chỉ bằng khoảng một phần năm.
- Nga trông khổng lồ (dù thật sự rất lớn, khoảng 17 triệu km², nhỏ hơn châu Phi gần một nửa).
- Việt Nam ở vĩ độ thấp nên gần đúng kích thước, nhưng so với các nước Bắc Âu trên bản đồ thì trông nhỏ hơn thực tế khá nhiều.
Vì sao Mercator vẫn được dùng
- Hàng hải: hải đồ dùng phép chiếu Mercator đến nay vì đúng mục đích ban đầu: đường hướng la bàn cố định là đường thẳng.
- Bản đồ trực tuyến: phần lớn bản đồ trên điện thoại, máy tính dùng một biến thể gọi là Web Mercator. Lý do: khi phóng to vào một con phố, hình dạng và góc rẽ phải đúng, và "phía bắc luôn ở trên" ở mọi chỗ. Diện tích sai không quan trọng khi bạn đang tìm quán cà phê.
- Thói quen: nhiều thế hệ học sinh lớn lên với bản đồ Mercator treo tường, nên hình dạng các châu lục trên đó trở thành "hình dạng quen".
Những phép chiếu khác và lựa chọn của chúng
| Phép chiếu | Giữ đúng gì | Đánh đổi |
|---|---|---|
| Mercator (1569) | Góc, hình dạng vùng nhỏ | Diện tích phóng to mạnh ở vĩ độ cao |
| Gall – Peters (Gall 1855, Arno Peters phổ biến năm 1973) | Diện tích | Hình dạng méo, châu Phi và Nam Mỹ dài ngoằng |
| Robinson (1963) | Không giữ đúng gì hoàn toàn, cân bằng mọi thứ | Méo nhẹ khắp nơi; National Geographic dùng từ 1988 đến 1998 |
| Winkel tripel | Thoả hiệp, giảm cả méo diện tích lẫn khoảng cách | National Geographic dùng từ 1998 |
| Phương vị đẳng cự | Khoảng cách và hướng từ tâm bản đồ | Méo mạnh ở rìa; biểu tượng Liên Hợp Quốc dùng dạng chiếu từ cực bắc |
| Dymaxion của Buckminster Fuller (1943, bản hoàn chỉnh 1954) | Hình dạng và diện tích tương đối tốt | Bản đồ đứt thành nhiều mảnh tam giác, không có "phía trên" |
Năm 2016, kiến trúc sư Nhật Bản Hajime Narukawa với bản đồ AuthaGraph, chia quả cầu thành 96 tam giác rồi trải lên hình chữ nhật, nhận giải thưởng thiết kế Good Design Award lớn của Nhật. Bản đồ này giữ diện tích tương đối khá tốt và lát kín được mặt phẳng.
Bản đồ và cách ta nhìn thế giới
Cuộc tranh luận về bản đồ Peters thập niên 1970 – 1980 có màu sắc chính trị: những người ủng hộ cho rằng Mercator làm các nước ở vĩ độ cao, phần lớn là châu Âu và Bắc Mỹ, trông "quan trọng" hơn. Giới bản đồ học đáp rằng Mercator chưa bao giờ được thiết kế làm bản đồ thế giới treo tường, và nhiều phép chiếu cân bằng tốt hơn Peters đã có từ lâu. Bài học chung mà cả hai phía đồng ý: không có bản đồ thế giới nào "đúng", chỉ có bản đồ phù hợp hay không với mục đích.
Góc nhìn hôm nay: tự thấy méo mó
- Tìm trang web "The True Size Of" (thetruesize.com). Kéo Greenland xuống xích đạo, nhìn nó co lại. Kéo Việt Nam lên phía Bắc Âu, nhìn nó phình ra.
- Lấy một quả bóng nhựa, vẽ một "hình tròn" bằng nhau ở xích đạo và gần cực. Cắt bóng, cố trải phẳng hai mảnh: mảnh gần cực bị kéo giãn nhiều hơn khi ép theo kiểu Mercator.
- So sánh ba bản đồ thế giới Mercator, Robinson, Gall – Peters in cùng khổ. Mỗi bản làm bạn chú ý tới châu lục nào nhất?
Câu hỏi thường gặp
Vì sao Greenland trông to bằng châu Phi trên bản đồ?
Vì phép chiếu Mercator phóng to diện tích rất mạnh ở vĩ độ cao để giữ đúng hình dạng và góc. Greenland nằm gần cực nên bị phóng khoảng mười lần về diện tích, trong khi thực tế châu Phi lớn hơn Greenland khoảng mười bốn lần.
Phép chiếu Mercator dùng để làm gì?
Ban đầu dùng cho đi biển: trên bản đồ Mercator, đường đi theo một hướng la bàn cố định là đường thẳng. Ngày nay hải đồ và phần lớn bản đồ trực tuyến vẫn dùng nó vì giữ đúng hình dạng và góc ở vùng nhỏ.
Bản đồ nào đúng diện tích thật?
Các phép chiếu đồng diện tích như Gall – Peters, Mollweide giữ đúng tỉ lệ diện tích nhưng làm méo hình dạng. Không có bản đồ phẳng nào giữ đúng cả diện tích, hình dạng và khoảng cách cùng lúc.
Bản đồ trên điện thoại dùng phép chiếu gì?
Phần lớn dùng biến thể Web Mercator. Khi phóng to tới mức đường phố, hình dạng và góc rẽ hiển thị đúng, còn sai lệch diện tích ở quy mô thế giới không ảnh hưởng tới việc tìm đường.
Mercator là ai?
Gerardus Mercator (1512 – 1594) là nhà bản đồ học người Flanders, công bố bản đồ thế giới dùng phép chiếu mang tên ông năm 1569 cho mục đích đi biển. Ông cũng là người đầu tiên dùng từ atlas cho một tập bản đồ.