Không có cách nào trải mặt quả địa cầu ra một mặt phẳng mà không làm méo hay rách, giống như không thể ép phẳng vỏ cam mà không nứt. Năm 1827, Carl Friedrich Gauss chứng minh điều này bằng toán học: mặt cầu có độ cong mà mặt phẳng không có, và độ cong ấy không thể "là" phẳng đi được. Vì vậy mọi bản đồ phẳng đều phải chọn hy sinh một vài tính chất: diện tích, hình dạng, khoảng cách hay hướng.
Bài này giải thích vì sao lại như vậy, ba "họ" phép chiếu bản đồ chính, cách nhận ra một bản đồ đang méo ở đâu, và vì sao đường bay trên bản đồ phẳng lại cong.
Thí nghiệm vỏ cam
Bóc vỏ một quả cam thành một mảnh, rồi ép nó xuống bàn. Có ba cách:
- Xé thành nhiều múi rồi xếp cạnh nhau: không méo nhiều, nhưng có nhiều khe hở.
- Ép mạnh: vỏ nứt và kéo giãn, chỗ nào cũng méo một chút.
- Cắt một đường rồi kéo giãn mép cho lấp khe: khu vực giữa ít méo, mép bị kéo giãn mạnh.
Mỗi cách tương ứng với một loại bản đồ. Không cách nào cho ra một tấm phẳng liền mà không méo. Đó chính là nội dung của "Định lý tuyệt vời" (Theorema Egregium) mà Gauss chứng minh: một mặt cong không thể trải phẳng nếu độ cong Gauss của nó khác không. Mặt trụ, mặt nón thì trải phẳng được (độ cong bằng không), nhưng mặt cầu thì không.
Bốn tính chất, không giữ được cả bốn
| Tính chất | Bản đồ giữ được tính chất này gọi là | Hữu ích cho |
|---|---|---|
| Diện tích | Đồng diện tích | So sánh diện tích các nước, bản đồ mật độ dân số, phân bố rừng |
| Góc và hình dạng vùng nhỏ | Đồng góc (bảo giác) | Hàng hải, bản đồ thời tiết, bản đồ đường phố |
| Khoảng cách | Đẳng cự (chỉ đúng từ một hoặc vài điểm) | Bản đồ khoảng cách từ một thành phố, tầm bay |
| Hướng | Phương vị (đúng hướng từ tâm) | Bản đồ định hướng anten, đường bay từ một sân bay |
Một bản đồ có thể vừa đồng góc vừa giữ hướng từ tâm, hoặc vừa đẳng cự vừa giữ hướng từ tâm, nhưng không thể vừa đồng diện tích vừa đồng góc. Nhiều bản đồ treo tường chọn cách thoả hiệp: không giữ đúng tính chất nào, nhưng méo ít ở mọi tính chất.
Ba họ phép chiếu: trụ, nón, phương vị
Hình dung đặt một bóng đèn ở tâm quả địa cầu bằng kính và quấn một tờ giấy quanh nó. Bóng các đường bờ biển in lên giấy. Tuỳ cách đặt giấy, ta có ba họ chính:
- Phép chiếu trụ: cuộn giấy thành ống bao quanh xích đạo. Kinh tuyến và vĩ tuyến thành lưới chữ nhật. Đúng nhất ở xích đạo, méo nhiều gần cực. Mercator thuộc họ này.
- Phép chiếu nón: cuộn giấy thành chóp nón úp lên quả cầu, chạm theo một vĩ tuyến. Đúng nhất dọc vĩ tuyến chạm, rất hợp cho các nước trải rộng theo chiều đông – tây ở vĩ độ trung bình. Nhà thiên văn Ptolemy ở Alexandria đã mô tả một dạng phép chiếu nón khoảng năm 150.
- Phép chiếu phương vị: đặt tờ giấy phẳng chạm quả cầu tại một điểm, thường là cực. Đúng nhất quanh điểm chạm, méo dần ra rìa. Hay dùng cho bản đồ vùng cực.
Thực tế, phần lớn phép chiếu hiện đại được định nghĩa bằng công thức toán, không thật sự "chiếu bóng đèn", nhưng hình ảnh trụ, nón, phẳng vẫn là cách dễ nhất để hình dung chúng.
Đọc độ méo bằng những vòng tròn Tissot
Năm 1859, nhà toán học Pháp Nicolas Auguste Tissot đề xuất một cách trực quan để thấy độ méo: vẽ nhiều vòng tròn nhỏ bằng nhau rải đều trên quả cầu, rồi xem chúng biến thành gì trên bản đồ.
- Trên bản đồ Mercator, các vòng vẫn tròn (hình dạng giữ đúng) nhưng to dần về phía cực.
- Trên bản đồ đồng diện tích, các vòng có diện tích như nhau nhưng bị bóp thành elip dẹt ở vĩ độ cao.
- Trên bản đồ thoả hiệp, các vòng hơi to ra và hơi dẹt, nhưng không quá mức ở đâu.
Nhìn các vòng Tissot, ta biết ngay bản đồ hy sinh tính chất nào. Đây là bài tập hình dung tuyệt vời: tưởng tượng chính khu phố mình đang bị "bóp méo" ra sao trên từng bản đồ.
Vì sao đường bay trông cong
Trên quả địa cầu, đường ngắn nhất giữa hai điểm là một cung của đường tròn lớn (đường tròn có tâm trùng tâm Trái Đất, như xích đạo hay các kinh tuyến). Trên bản đồ Mercator, cung này thường hiện ra như một đường cong vồng về phía cực.
Ví dụ, đường bay ngắn nhất từ Đông Nam Á tới châu Âu đi chếch lên phía bắc, qua vùng Trung Á hoặc phía nam nước Nga, chứ không đi theo đường thẳng trên bản đồ Mercator qua Ấn Độ Dương và Trung Đông. Lấy một sợi chỉ căng giữa hai thành phố trên quả địa cầu, bạn sẽ thấy ngay đường ngắn nhất.
Ngược lại, đường đi theo một hướng la bàn cố định (đường thẳng trên bản đồ Mercator) lại dài hơn đường tròn lớn. Người đi biển xưa chấp nhận đi xa hơn một chút để dễ giữ hướng.
Quả địa cầu: bản đồ duy nhất không méo
- Ý tưởng làm mô hình Trái Đất hình cầu đã có ở Hy Lạp cổ đại; nhà học giả Crates xứ Mallus được kể là đã dựng một quả địa cầu vào khoảng thế kỷ 2 trước Công nguyên, nhưng không còn.
- Quả địa cầu cổ nhất còn tồn tại là "Erdapfel" do Martin Behaim làm ở Nuremberg năm 1492, ngay trước khi Columbus tới châu Mỹ, nên trên đó chưa có châu Mỹ.
- Từ thế kỷ 16, quả địa cầu được làm bằng cách in bản đồ lên các múi giấy hình con thoi (gores) rồi dán lên khối cầu, đúng như thí nghiệm vỏ cam xé múi.
Quả địa cầu giữ đúng mọi tính chất, nhưng ta chỉ nhìn được một nửa cùng lúc, khó mang theo, và không thể phóng to tới từng con phố. Đó là lý do bản đồ phẳng không bao giờ bị thay thế.
Góc nhìn hôm nay: tự làm quả địa cầu và bản đồ
- Tải mẫu quả địa cầu dạng múi (globe gores) in trên khổ A4, cắt và dán lên quả bóng nhựa hoặc tự dán thành cầu. Thấy các múi khít lại mà vẫn hơi nhăn.
- Lấy sợi chỉ căng giữa Hà Nội và một thành phố châu Âu trên quả địa cầu, đánh dấu các nước đường chỉ đi qua. So với đường thẳng trên bản đồ treo tường.
- Vẽ vài vòng tròn bằng đồng xu lên quả bóng ở xích đạo và gần cực, cắt bóng và ép phẳng từng mảnh. Quan sát vòng nào méo nhiều hơn.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao bản đồ thế giới luôn bị méo?
Vì mặt cầu có độ cong mà mặt phẳng không có, nên không thể trải phẳng mà giữ nguyên khoảng cách. Gauss chứng minh điều này năm 1827. Mọi bản đồ phẳng phải hy sinh diện tích, hình dạng, khoảng cách hoặc hướng.
Phép chiếu bản đồ có những loại nào?
Ba họ chính là phép chiếu trụ (như Mercator), phép chiếu nón (hợp với nước trải rộng đông tây ở vĩ độ trung bình) và phép chiếu phương vị (hay dùng cho vùng cực). Ngoài ra có nhiều phép chiếu thoả hiệp.
Vì sao đường bay trên bản đồ lại cong?
Vì đường ngắn nhất trên mặt cầu là cung đường tròn lớn, và khi chiếu lên bản đồ phẳng như Mercator nó hiện thành đường cong vồng về phía cực. Căng sợi chỉ trên quả địa cầu sẽ thấy đường bay thật.
Quả địa cầu cổ nhất còn lại là gì?
Là quả địa cầu Erdapfel do Martin Behaim làm ở Nuremberg năm 1492. Nó được làm trước khi Columbus tới châu Mỹ nên không có châu Mỹ trên đó.
Vòng tròn Tissot là gì?
Là những vòng tròn nhỏ bằng nhau vẽ trên quả cầu rồi chiếu lên bản đồ, do Nicolas Tissot đề xuất năm 1859. Hình dạng và kích thước của chúng trên bản đồ cho thấy phép chiếu méo diện tích hay hình dạng ở đâu.