Hình lập phương có đúng 11 hình trải khác nhau, tức 11 cách xếp sáu ô vuông liền cạnh trên mặt phẳng để gấp lại thành một chiếc hộp kín (không tính các cách chỉ khác nhau do xoay hay lật). Chúng chia thành bốn nhóm theo cách xếp hàng: 1-4-1, 1-3-2, 2-2-2 và 3-3. Nắm được bốn nhóm này, bạn sẽ nhận ra hình trải đúng hay sai chỉ trong vài giây.
Dạng bài "hình nào gấp được thành hình lập phương" xuất hiện trong sách giáo khoa, đề thi vào lớp chọn, bài thử năng lực không gian và cả đề tuyển dụng. Bài này liệt kê đủ 11 hình, chỉ ra mẹo nhận biết, và cách tìm hai mặt đối diện.
Hình trải là gì
Hình trải (còn gọi là lưới, khai triển) của một khối đa diện là hình phẳng thu được khi cắt khối theo một số cạnh rồi mở ra, sao cho các mặt vẫn dính liền nhau. Người đầu tiên in hình trải của khối đa diện trong sách là hoạ sĩ người Đức Albrecht Dürer, trong cuốn Underweysung der Messung năm 1525 về hình học cho hoạ sĩ và thợ thủ công.
Với hình lập phương, hình trải gồm sáu ô vuông. Có tất cả 35 cách ghép sáu ô vuông liền cạnh thành một mảnh (gọi là hexomino), nhưng chỉ 11 trong số đó gấp được thành hình lập phương.
Bốn nhóm, mười một hình
Gọi tên theo số ô trên từng hàng, đọc từ trên xuống, ta có:
| Nhóm | Mô tả | Số hình |
|---|---|---|
| 1-4-1 | Một dải bốn ô nằm ngang ở giữa, một ô gắn phía trên và một ô gắn phía dưới dải. Hai ô này có thể ở các vị trí khác nhau dọc dải. | 6 |
| 1-3-2 | Hàng giữa ba ô, một ô phía trên, hai ô phía dưới nối tiếp nhau lệch sang một bên. | 3 |
| 2-2-2 | Ba cặp ô xếp bậc thang, mỗi cặp lệch một ô so với cặp trước. | 1 |
| 3-3 | Hai dải ba ô, lệch nhau hai ô, nối với nhau bằng đúng một cạnh. | 1 |
Nhóm 1-4-1: sáu hình
Đặt dải bốn ô là các ô số 1, 2, 3, 4 từ trái sang phải. Ô trên gắn với một trong bốn ô, ô dưới cũng vậy. Có 16 cách chọn, nhưng nhiều cách trùng nhau khi xoay hay lật. Sau khi loại trùng còn đúng sáu hình. Hình chữ thập quen thuộc (ô trên và ô dưới cùng gắn vào ô số 2) là một trong sáu hình này.
Nhóm 1-3-2: ba hình
Hàng ba ô ở giữa. Phía dưới có hai ô nối tiếp nhau, trong đó chỉ một ô dính với hàng giữa (ở đầu mút bên phải), ô còn lại thò ra ngoài. Ô trên cùng có thể gắn với một trong ba ô của hàng giữa, cho ba hình.
Nhóm 2-2-2 và 3-3: mỗi nhóm một hình
Hình bậc thang 2-2-2 trông như cầu thang ba bậc. Hình 3-3 trông như hai thanh ba ô so le, chỉ chạm nhau ở một ô.
Dấu hiệu nhận ra hình trải SAI
Thay vì nhớ 11 hình, hãy nhớ những dấu hiệu chắc chắn sai:
- Có năm ô thẳng hàng trở lên: khi gấp, ô thứ năm sẽ chồng lên ô thứ nhất.
- Có một khối 2×2 ô: bốn ô vuông xếp thành hình vuông lớn không thể gấp quanh một đỉnh, vì một đỉnh của hình lập phương chỉ có ba mặt.
- Dải bốn ô thẳng hàng mà có hai ô gắn cùng một phía (cùng ở trên hoặc cùng ở dưới dải): khi dải cuộn thành bốn bức tường, hai ô đó cùng thành nắp trên và chồng lên nhau.
Tìm hai mặt đối diện
Đây là kỹ năng hay được hỏi nhất: tô màu hay đánh số trên hình trải, hỏi mặt nào đối diện mặt nào sau khi gấp.
- Quy tắc cách một ô: hai ô nằm trên cùng một hàng thẳng (ngang hoặc dọc) và cách nhau đúng một ô thì là hai mặt đối diện.
- Quy tắc chữ Z: nếu hai ô nằm ở hai đầu một hình chữ Z (hoặc chữ S) gồm bốn ô, chúng thường cũng đối diện nhau. Kiểm lại bằng cách gấp trong đầu từng bước.
- Hai ô liền cạnh không bao giờ đối diện.
- Mỗi mặt có đúng một mặt đối diện, nên sáu mặt chia thành ba cặp. Tìm được hai cặp là biết cặp thứ ba.
Ví dụ với hình chữ thập: dải dọc bốn ô từ trên xuống là A, B, C, D, ô trái và ô phải gắn vào B là E và F. Theo quy tắc cách một ô: A đối diện C, B đối diện D, E đối diện F.
Khi các mặt có hình vẽ: hướng cũng quan trọng
Đề khó hơn vẽ mũi tên hay chữ cái trên mặt, hỏi khối gấp xong trông thế nào từ một góc. Lúc này không chỉ cần biết mặt nào cạnh mặt nào mà còn cần biết hình vẽ quay về hướng nào. Mẹo: chọn một ô làm "đáy", tưởng tượng gấp từng ô kề lên như bốn bức tường, chú ý cạnh nào của ô chạm đáy. Hình vẽ trên ô tường sẽ "đứng" với cạnh chạm đáy ở dưới.
Bài thử so mặt khối lập phương trong bộ đề năng lực của Viện Khảo thí Giáo dục Mỹ (ETS) dùng đúng dạng này, và đây là dạng phân loại người làm rõ nhất.
Góc nhìn hôm nay: tự tìm đủ 11 hình
Bài tập tốt nhất không phải nhìn lời giải mà là tự tìm:
- Lấy giấy kẻ ô, vẽ càng nhiều cách xếp sáu ô liền cạnh càng tốt.
- Cắt từng hình, thử gấp. Hình nào gấp được thì dán lên một tờ, hình nào không thì dán tờ khác.
- Loại các hình trùng nhau khi xoay hay lật. Khi tờ "gấp được" đủ 11 hình là xong.
- Thử thách thêm: trong 11 hình, hình nào xếp được nhiều bản sao lát kín một tờ giấy lớn? (Thực tế cả 11 hình đều lát kín được mặt phẳng.)
Với trẻ nhỏ, có thể dùng các tấm nam châm hình vuông ghép lại: trẻ tự dựng hình trải rồi dựng thành hộp, rất trực quan. Hộp giấy đựng bánh, hộp thuốc mở phẳng ra cũng là ví dụ thật, dù thường có thêm các mép dán.
Câu hỏi thường gặp
Hình lập phương có bao nhiêu hình trải?
Có đúng 11 hình trải khác nhau, không tính các hình chỉ khác do xoay hay lật. Chúng chia thành bốn nhóm 1-4-1 (sáu hình), 1-3-2 (ba hình), 2-2-2 (một hình) và 3-3 (một hình).
Làm sao biết một hình có gấp được thành hình lập phương không?
Kiểm các dấu hiệu sai: có năm ô thẳng hàng, có khối 2×2 ô, hoặc hai ô cùng gắn về một phía ở cùng một vị trí. Nếu không vướng các dấu hiệu đó và có sáu ô, so với bốn nhóm hình trải chuẩn.
Làm sao tìm mặt đối diện trên hình trải lập phương?
Hai ô cùng nằm trên một hàng thẳng và cách nhau đúng một ô là hai mặt đối diện. Hai ô liền cạnh không bao giờ đối diện. Sáu mặt chia thành ba cặp, tìm được hai cặp là biết cặp còn lại.
Có bao nhiêu cách ghép sáu ô vuông liền cạnh?
Có 35 cách ghép sáu ô vuông liền cạnh thành một mảnh, gọi là hexomino. Trong đó chỉ 11 cách gấp được thành hình lập phương.
Ai là người đầu tiên vẽ hình trải khối đa diện?
Hoạ sĩ người Đức Albrecht Dürer được ghi nhận là người đầu tiên in hình trải của khối đa diện, trong cuốn sách hình học Underweysung der Messung xuất bản năm 1525.