Hình trải của hình hộp chữ nhật gồm sáu hình chữ nhật thành ba cặp bằng nhau; lăng trụ có hai đáy đa giác nối bằng một dải hình chữ nhật; hình chóp là một đa giác đáy viền quanh bởi các tam giác; hình trụ là hai hình tròn và một hình chữ nhật dài đúng bằng chu vi đáy; còn hình nón là một hình tròn và một hình quạt. Hình cầu thì không có hình trải: không cách nào trải phẳng mặt cầu mà không làm méo hay rách.
Hiểu hình trải giúp tính diện tích xung quanh, làm hộp, may mũ, gò ống, và đọc đề hình học không gian. Bài này đi qua từng khối, kèm cách tự vẽ.
Bảng tóm tắt
| Khối | Hình trải gồm | Điều cần nhớ |
|---|---|---|
| Hình hộp chữ nhật | 6 hình chữ nhật (3 cặp) | Các mặt đối diện bằng nhau; cạnh chung phải dài bằng nhau |
| Lăng trụ đứng đáy n-giác | 2 đáy n-giác + n hình chữ nhật | Dải chữ nhật dài bằng chu vi đáy |
| Hình chóp đáy n-giác | 1 đáy n-giác + n tam giác | Các tam giác chung đỉnh khi gấp lên |
| Hình trụ | 2 hình tròn + 1 hình chữ nhật | Chiều dài chữ nhật = 2πr |
| Hình nón | 1 hình tròn + 1 hình quạt | Bán kính quạt = đường sinh; cung quạt = 2πr |
| Hình cầu | Không có hình trải chính xác | Chỉ trải gần đúng bằng các múi |
Hình hộp chữ nhật: ba cặp mặt
Hình hộp có ba kích thước: dài a, rộng b, cao c. Hình trải gồm hai mặt a×b, hai mặt a×c, hai mặt b×c. Kiểu hình trải cũng giống 11 kiểu của hình lập phương, nhưng giờ các ô không vuông đều nên phải kiểm thêm: hai mặt chạm nhau qua một nếp gấp phải có cạnh chung dài bằng nhau.
Lỗi hay gặp khi tự vẽ: đặt mặt a×c cạnh mặt a×b nhưng lại nối bằng cạnh c. Gấp lên, mép không khớp. Cách tránh: tô màu ba cặp mặt bằng ba màu, và viết độ dài lên từng cạnh trước khi cắt.
Diện tích toàn phần chính là diện tích hình trải: 2(ab + bc + ca). Người làm bao bì tính thêm phần mép dán và nắp gài, nên tờ bìa thật luôn lớn hơn con số này.
Lăng trụ: hai đáy và một dải
Lăng trụ đứng có hai đáy là hai đa giác bằng nhau song song, các mặt bên là hình chữ nhật. Cách vẽ hình trải dễ nhất:
- Vẽ một dải gồm n hình chữ nhật nối tiếp nhau, chiều cao bằng chiều cao lăng trụ, chiều rộng từng ô bằng từng cạnh đáy.
- Gắn một đáy vào cạnh trên của một ô bất kỳ, đáy kia vào cạnh dưới của một ô bất kỳ.
Thanh sô-cô-la hình lăng trụ tam giác, hộp bánh lục giác, bút chì sáu cạnh đều là lăng trụ. Diện tích xung quanh = chu vi đáy × chiều cao, vì dải chữ nhật khi trải ra là một hình chữ nhật lớn.
Hình chóp: bông hoa tam giác
Hình trải quen thuộc nhất của hình chóp là "bông hoa": đáy ở giữa, mỗi cạnh đáy gắn một tam giác cánh hoa. Gấp các cánh lên, đỉnh chúng gặp nhau ở đỉnh chóp.
Kiểm tra trước khi cắt
Các cạnh bên của những tam giác kề nhau phải bằng nhau, vì chúng sẽ dán vào nhau. Với hình chóp đều, mọi tam giác bên là tam giác cân bằng nhau. Nếu tam giác bên quá "lùn", chiều cao của nó không đủ để đỉnh các cánh hoa gặp nhau, hình không gấp được. Điều kiện là chiều cao tam giác bên phải lớn hơn khoảng cách từ tâm đáy tới cạnh đáy.
Tứ diện đều chỉ có hai hình trải
Tứ diện đều gồm bốn tam giác đều có đúng hai hình trải: một tam giác đều lớn chia bốn (một tam giác ở giữa, ba tam giác quanh), và một dải bốn tam giác xếp so le như hình bình hành. Bát diện đều có 11 hình trải, đúng bằng hình lập phương, vì hai khối này đối ngẫu nhau.
Hình trụ: hình chữ nhật cuộn lại
Lấy một lon nước, bóc nhãn giấy ra trải phẳng: đó là hình chữ nhật có chiều cao bằng chiều cao lon và chiều dài bằng chu vi đáy, tức 2πr. Cộng thêm hai hình tròn bán kính r là đủ hình trải.
Lỗi thường gặp khi tự làm: vẽ chiều dài chữ nhật bằng đường kính hay "đo áng chừng". Với r = 3 cm, chiều dài cần khoảng 18,85 cm, không phải 6 cm hay 9 cm. Thợ gò ống tôn, thợ làm thùng đều tính theo công thức này, có cộng thêm mép ghép.
Hình nón: hình quạt bất ngờ
Nhiều người đoán hình trải mặt xung quanh của hình nón là một tam giác. Thực ra nó là một hình quạt tròn:
- Bán kính quạt bằng đường sinh l của hình nón (khoảng cách từ đỉnh tới mép đáy).
- Độ dài cung quạt bằng chu vi đáy, 2πr.
- Góc ở tâm của quạt bằng 360° × r / l.
Ví dụ: chiếc nón lá Việt Nam có đường kính vành khoảng 40 – 50 cm và khá thoải. Nếu nón có r = 22 cm, đường sinh l = 30 cm, góc quạt là 360 × 22 / 30 = 264°. Nghĩa là hình trải gần như một hình tròn bị khuyết một miếng chưa tới một phần tư. Nón càng nhọn (r nhỏ so với l), miếng quạt càng hẹp; nón càng bẹt, quạt càng gần đủ vòng tròn. Lưu ý nón lá thật được chằm từ lá trên khung vành tre chứ không cắt từ một tấm quạt, nhưng hình học của nó vẫn vậy.
Mũ sinh nhật bằng giấy, phễu, ống loe đều được cắt theo hình quạt.
Hình cầu: không trải được
Năm 1827, Carl Friedrich Gauss chứng minh "định lý tuyệt vời" (Theorema Egregium), từ đó suy ra mặt cầu không thể trải phẳng mà giữ nguyên khoảng cách. Vì vậy:
- Mọi bản đồ thế giới đều méo ở đâu đó.
- Quả địa cầu được dán từ nhiều múi giấy hình con thoi, chỗ nối hơi căng.
- Quả bóng da khâu từ các mảnh ngũ giác và lục giác phẳng, rồi bơm căng thành gần tròn.
- Vỏ cam bóc ra không bao giờ nằm phẳng mà không nứt.
Góc nhìn hôm nay: bộ hình trải tự làm
- Thu gom một hộp sữa, một hộp kem đánh răng (hình hộp), một hộp bánh hình lăng trụ, một lon nước (trụ), một chiếc mũ giấy (nón). Mở hoặc cắt từng cái ra trải phẳng, quan sát và đo.
- Tự vẽ hình trải của từng khối trên bìa cứng theo kích thước cho trước, cắt, gấp. Lần đầu thường lệch vài milimét, lần sau sẽ chuẩn hơn.
- Thử bài toán ngược: cho một hình quạt bán kính 10 cm, góc 216°, gấp thành nón thì bán kính đáy bao nhiêu? (Đáp số: 10 × 216 / 360 = 6 cm.)
Đây cũng là cách ôn diện tích xung quanh và thể tích hiệu quả, vì con số trên giấy biến thành vật thật trong tay.
Câu hỏi thường gặp
Hình trải của hình nón là hình gì?
Mặt xung quanh của hình nón trải ra là một hình quạt tròn có bán kính bằng đường sinh và cung dài bằng chu vi đáy. Thêm một hình tròn đáy là đủ hình trải. Góc ở tâm quạt bằng 360 độ nhân bán kính đáy chia đường sinh.
Hình trải của hình trụ gồm những hình gì?
Gồm hai hình tròn bằng nhau làm đáy và một hình chữ nhật có chiều cao bằng chiều cao hình trụ, chiều dài bằng chu vi đáy 2πr. Nhãn giấy bóc từ lon nước là ví dụ dễ thấy nhất.
Hình cầu có hình trải không?
Không. Định lý của Gauss năm 1827 cho thấy mặt cầu không thể trải phẳng mà giữ nguyên khoảng cách. Vì vậy bản đồ thế giới luôn bị méo và quả địa cầu phải dán từ nhiều múi.
Tứ diện đều có bao nhiêu hình trải?
Tứ diện đều có đúng hai hình trải: một tam giác đều lớn chia thành bốn tam giác nhỏ, và một dải bốn tam giác xếp so le. Bát diện đều có 11 hình trải, bằng số hình trải của hình lập phương.
Diện tích hình trải của hình hộp chữ nhật tính thế nào?
Bằng diện tích toàn phần của hình hộp, tức 2(ab + bc + ca) với a, b, c là ba kích thước. Khi làm hộp thật cần cộng thêm phần mép dán và nắp gài.