Công thức Euler cho khối đa diện: đỉnh trừ cạnh cộng mặt bằng 2

Công thức Euler cho khối đa diện nói rằng với mọi khối đa diện lồi, số đỉnh trừ số cạnh cộng số mặt luôn bằng 2: Đ − C + M = 2. Hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt: 8 − 12 + 6 = 2. Leonhard Euler nêu công thức này trong thư gửi Christian Goldbach năm 1750, và nó được coi là một trong những công thức đẹp nhất của toán học.

Công thức đơn giản đến mức học sinh lớp sáu cũng kiểm được, nhưng nó mở ra cả một ngành toán mới là tô pô học. Bài này giải thích công thức, cách tự kiểm, vì sao nó đúng, và những trường hợp nó "sai".

Kiểm trên những khối quen thuộc

Dù khối nhỏ hay to, đều hay méo, kết quả luôn là 2. Đó là vì công thức không quan tâm tới độ dài cạnh hay độ lớn góc, chỉ quan tâm cách các đỉnh, cạnh, mặt nối với nhau.

Lịch sử: Descartes, Euler và những người sửa sai

Euler viết về công thức trong thư gửi Goldbach năm 1750 và công bố chứng minh năm 1758. Ông nhận xét chưa ai để ý tới việc đếm cạnh của khối đa diện, một điều lạ vì Euclid đã nghiên cứu khối đa diện từ hai nghìn năm trước.

Về sau người ta phát hiện René Descartes, khoảng năm 1630, đã ghi một kết quả về tổng các "góc khuyết" ở đỉnh khối đa diện, từ đó có thể suy ra công thức Euler. Nhưng ghi chép này nằm trong bản thảo chưa xuất bản, chỉ được biết đến nhờ một bản chép tay của Leibniz tìm thấy năm 1860. Vì vậy có sách gọi đây là định lý Descartes – Euler.

Chứng minh của Euler không hoàn toàn chặt chẽ. Trong thế kỷ 19, Legendre, Cauchy và nhiều người khác đưa ra các chứng minh khác, đồng thời phát hiện những khối đa diện "kỳ quặc" làm công thức sai. Cuốn Proofs and Refutations (Chứng minh và bác bỏ) của triết gia Imre Lakatos, xuất bản năm 1976, kể lại lịch sử này như một cuộc tranh luận trong lớp học, và trở thành sách kinh điển về cách toán học phát triển.

Vì sao công thức đúng: một cách hình dung

Có nhiều chứng minh, đây là cách dễ hình dung nhất:

1. Bỏ một mặt và trải phẳng. Tưởng tượng khối đa diện làm bằng màng cao su. Khoét bỏ một mặt rồi kéo căng phần còn lại ra mặt bàn. Ta được một hình phẳng gồm các đa giác ghép lại. Số đỉnh và cạnh không đổi, số mặt giảm 1. Giờ ta cần chứng minh Đ − C + M = 1 với hình phẳng này.
2. Chia các mặt thành tam giác. Kẻ thêm đường chéo trong mỗi đa giác. Mỗi đường chéo thêm 1 cạnh và 1 mặt, nên Đ − C + M không đổi.
3. Gỡ dần tam giác ở rìa. Tam giác nằm ở mép có một cạnh ở rìa: bỏ cạnh đó, mất 1 cạnh và 1 mặt, tổng không đổi. Tam giác có hai cạnh ở rìa: bỏ hai cạnh và một đỉnh, mất 1 đỉnh, 2 cạnh, 1 mặt, tổng vẫn không đổi.
4. Còn lại một tam giác: 3 đỉnh, 3 cạnh, 1 mặt. 3 − 3 + 1 = 1. Cộng lại mặt đã khoét ở bước 1, ta được 2.

Chỗ tinh tế của chứng minh là phải chọn đúng thứ tự gỡ để hình không bị tách làm hai. Đây chính là một trong những "lỗ hổng" mà Lakatos phân tích.

Khi nào công thức không còn đúng

Khối có lỗ thủng

Hình dung một khung tranh bằng gỗ: một khối hộp có lỗ vuông xuyên qua giữa. Đếm đỉnh, cạnh, mặt, ta được Đ − C + M = 0, không phải 2. Một khối có hai lỗ thủng (như hình số 8 dày) cho −2. Quy luật chung: Đ − C + M = 2 − 2g, với g là số lỗ thủng xuyên qua. Con số này gọi là đặc trưng Euler, và nó chỉ phụ thuộc vào "hình dạng tô pô" của bề mặt, tức là những gì còn lại khi ta được phép kéo giãn, uốn cong mà không xé rách.

Hai khối dính nhau ở một đỉnh

Hai hình lập phương chạm nhau đúng ở một đỉnh: có 15 đỉnh (đỉnh chung đếm một lần), 24 cạnh, 12 mặt, tổng là 3. Công thức chỉ đúng cho bề mặt liền một khối, không tự cắt, không có chỗ "thắt" như vậy.

Dùng công thức Euler để suy luận

Công thức không chỉ để kiểm tra mà còn để chứng minh những điều bất ngờ:

• Chỉ có năm khối Platon: kết hợp công thức Euler với việc mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt và hai đỉnh, có thể suy ra chỉ năm tổ hợp (số cạnh mỗi mặt, số mặt mỗi đỉnh) là khả thi.
• Quả bóng luôn cần 12 ngũ giác: một khối chỉ gồm ngũ giác và lục giác, mỗi đỉnh có đúng ba mặt, thì bắt buộc có đúng 12 ngũ giác, bất kể có bao nhiêu lục giác. Đó là lý do mọi quả bóng ghép ngũ giác – lục giác, và các phân tử fullerene C₇₀, C₈₄, đều có 12 ngũ giác.
• Không có khối nào toàn lục giác: từ cùng phép tính, khối chỉ có mặt lục giác với ba mặt ở mỗi đỉnh sẽ cho Đ − C + M = 0, nên không khép kín được thành khối lồi. Lục giác chỉ lát phẳng được.

Góc nhìn hôm nay: tự kiểm và mở rộng

1. Tìm năm đồ vật có dạng khối đa diện trong nhà: hộp sữa, viên tẩy, cục rubik, kim tự tháp trang trí, hộp quà. Đếm Đ, C, M rồi tính.
2. Dùng đất nặn và que tăm dựng một khối tuỳ ý, càng méo càng tốt, rồi kiểm.
3. Dựng một khung tranh bằng que tăm có lỗ ở giữa, đếm lại. Bạn sẽ tự thấy con số 0.
4. Vẽ một bản đồ các tỉnh giả tưởng trên giấy: đỉnh là chỗ ba ranh giới gặp nhau, cạnh là đoạn ranh giới, mặt là các vùng (tính cả vùng biển bao ngoài). Công thức cũng ra 2.

Cuốn Euler's Gem (2008) của David Richeson kể trọn câu chuyện của công thức này, từ khối Platon tới tô pô hiện đại, viết cho người đọc phổ thông.