Khối Platon là khối đa diện lồi có mọi mặt là cùng một đa giác đều và mọi đỉnh giống hệt nhau. Chỉ có đúng năm khối như vậy: tứ diện đều, hình lập phương, bát diện đều, thập nhị diện đều và nhị thập diện đều. Lý do nằm ở một phép cộng góc rất đơn giản tại mỗi đỉnh, và Euclid đã chứng minh điều đó trong quyển cuối của bộ Cơ sở hơn hai nghìn ba trăm năm trước.
Bài này giới thiệu năm khối, giải thích vì sao không thể có khối thứ sáu, và kể vì sao chúng mang tên Platon dù ông không phải người phát hiện.
Năm khối và những con số của chúng
| Tên | Mặt | Số mặt | Số đỉnh | Số cạnh | Số mặt gặp ở một đỉnh |
|---|---|---|---|---|---|
| Tứ diện đều | Tam giác đều | 4 | 4 | 6 | 3 |
| Hình lập phương (lục diện đều) | Hình vuông | 6 | 8 | 12 | 3 |
| Bát diện đều | Tam giác đều | 8 | 6 | 12 | 4 |
| Thập nhị diện đều | Ngũ giác đều | 12 | 20 | 30 | 3 |
| Nhị thập diện đều | Tam giác đều | 20 | 12 | 30 | 5 |
Nhìn bảng sẽ thấy một điều thú vị: hình lập phương và bát diện đều có số đỉnh và số mặt "đổi chỗ" cho nhau (8 và 6), cùng 12 cạnh. Thập nhị diện và nhị thập diện cũng vậy (20 và 12, cùng 30 cạnh). Đây gọi là quan hệ đối ngẫu: lấy tâm các mặt của hình lập phương nối lại, ta được bát diện đều, và ngược lại. Tứ diện đều tự đối ngẫu với chính nó.
Vì sao chỉ có năm: phép cộng góc ở đỉnh
Lập luận chỉ cần hai ý:
- Tại một đỉnh của khối đa diện phải có ít nhất ba mặt gặp nhau. Hai mặt chỉ tạo được một nếp gấp, không thành góc khối.
- Tổng các góc của những mặt gặp nhau tại một đỉnh phải nhỏ hơn 360 độ. Nếu bằng 360 độ, các mặt nằm phẳng trên một mặt phẳng; nếu lớn hơn, chúng chồng lên nhau, không gấp lên được.
Giờ thử từng loại đa giác đều:
- Tam giác đều (góc 60 độ): 3 mặt cho 180 độ (tứ diện), 4 mặt cho 240 độ (bát diện), 5 mặt cho 300 độ (nhị thập diện). 6 mặt cho đúng 360 độ, phẳng mất. Vậy có ba khối.
- Hình vuông (90 độ): 3 mặt cho 270 độ (hình lập phương). 4 mặt cho 360 độ, phẳng. Một khối.
- Ngũ giác đều (108 độ): 3 mặt cho 324 độ (thập nhị diện). 4 mặt đã quá 360. Một khối.
- Lục giác đều (120 độ): 3 mặt cho đúng 360 độ, phẳng. Đây chính là kiểu lát tổ ong. Không có khối nào.
- Đa giác nhiều cạnh hơn có góc lớn hơn 120 độ, ba mặt đã vượt 360. Không có khối nào.
Cộng lại: 3 + 1 + 1 = 5. Lập luận này chỉ ra không thể có quá năm. Để hoàn tất, Euclid còn dựng cụ thể từng khối để chứng tỏ cả năm đều tồn tại thật.
Lịch sử: vì sao gọi là khối Platon
Các khối này được biết đến trước Platon. Theo truyền thống Hy Lạp, phái Pythagoras biết tứ diện, lập phương và thập nhị diện; còn Theaetetus, nhà toán học thành Athens, người bạn trẻ của Platon, được ghi nhận là người nghiên cứu bát diện và nhị thập diện, và có lẽ là người đầu tiên chứng minh chỉ có năm khối.
Tên gọi đến từ cuốn đối thoại Timaeus của Platon, viết khoảng năm 360 trước Công nguyên. Ở đó Platon gán mỗi khối cho một "nguyên tố" theo quan niệm thời ấy:
| Khối | Nguyên tố trong Timaeus | Lý lẽ của Platon |
|---|---|---|
| Tứ diện | Lửa | Nhọn nhất, sắc như lửa đốt |
| Lập phương | Đất | Vững nhất, đặt đâu nằm yên đó |
| Bát diện | Khí | Ở giữa, dễ xoay |
| Nhị thập diện | Nước | Tròn trịa nhất, dễ lăn như chất lỏng |
| Thập nhị diện | Vũ trụ (bầu trời) | Được "thần dùng để trang trí toàn thể" |
Đây là triết học tự nhiên cổ đại, không phải khoa học hiện đại, nhưng nó cho thấy người Hy Lạp coi năm khối này là nền móng của thế giới. Euclid dành quyển XIII, quyển cuối cùng của bộ Cơ sở (khoảng năm 300 trước Công nguyên), để dựng năm khối và chứng minh chỉ có năm. Nhiều nhà nghiên cứu coi đây là đích đến của cả bộ sách.
Kepler và vũ trụ lồng khối
Năm 1596, Johannes Kepler xuất bản Mysterium Cosmographicum, đề xuất rằng sáu hành tinh biết thời ấy có quỹ đạo nằm trên những mặt cầu lồng nhau, ngăn cách bởi năm khối Platon. Mô hình này sai, nhưng việc cố khớp nó với số liệu quan sát đã dẫn Kepler đến các định luật chuyển động hành tinh đúng đắn sau này.
Năm khối trong đời sống
- Xúc xắc: ngoài xúc xắc sáu mặt quen thuộc, người ta làm xúc xắc 4, 8, 12, 20 mặt theo đúng bốn khối Platon còn lại. Vì mọi mặt như nhau, mỗi mặt có cơ hội ngửa lên bằng nhau.
- Tinh thể: muối ăn kết tinh thành hình lập phương; một số tinh thể kim cương và phèn chua có dạng bát diện.
- Virus: vỏ của nhiều loại virus có cấu trúc đối xứng kiểu nhị thập diện, vì đó là cách tiết kiệm để ghép nhiều mảnh protein giống nhau thành vỏ kín.
- Kiến trúc và thiết kế: đèn treo, chậu cây, khung lều dùng tứ diện và nhị thập diện vì chắc và nhẹ.
Một chuyện cần đính chính: trên mạng hay lan truyền ảnh những quả cầu đá chạm khắc thời đồ đá mới ở Scotland, kèm lời nói chúng "là năm khối Platon từ trước Platon cả nghìn năm". Thực tế các quả cầu này có số núm rất khác nhau, và chỉ một số ít gần giống đối xứng của khối Platon. Giới khảo cổ không coi đây là bằng chứng người tiền sử biết năm khối đều.
Góc nhìn hôm nay: tự dựng năm khối
Cách tốt nhất để hiểu vì sao chỉ có năm là tự tay dựng:
- Cắt nhiều tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều từ bìa cứng cùng độ dài cạnh.
- Dán ba, bốn, năm tam giác quanh một điểm, thấy góc khối nhọn dần thành tù dần. Thử sáu tam giác: chúng nằm phẳng, không gấp lên được.
- Thử ba ngũ giác: vừa khít một góc. Thử ba lục giác: phẳng tuyệt đối.
- Dựng trọn năm khối bằng que tre và đất nặn, hoặc bằng ống hút nối dây. Đếm đỉnh, cạnh, mặt và so với bảng ở trên.
Muốn đọc thêm, các sách phổ biến toán học của Ian Stewart thường có chương về khối Platon viết rất dễ hiểu. Bản dịch tiếng Anh quyển XIII của Euclid cũng có sẵn trên mạng, đọc phần chứng minh "không có khối thứ sáu" chỉ mất vài phút.
Câu hỏi thường gặp
Khối Platon là gì?
Là khối đa diện lồi có mọi mặt là cùng một loại đa giác đều và mọi đỉnh giống nhau, với cùng số mặt gặp nhau ở mỗi đỉnh. Có đúng năm khối: tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị diện đều và nhị thập diện đều.
Vì sao chỉ có năm khối Platon?
Vì tại mỗi đỉnh cần ít nhất ba mặt và tổng góc phải nhỏ hơn 360 độ. Chỉ tam giác đều (3, 4 hoặc 5 mặt), hình vuông (3 mặt) và ngũ giác đều (3 mặt) thoả điều kiện, cho đúng năm trường hợp.
Hình lập phương có phải khối Platon không?
Có. Hình lập phương là khối Platon có sáu mặt hình vuông, tám đỉnh và mười hai cạnh, mỗi đỉnh có ba mặt gặp nhau. Nó đối ngẫu với bát diện đều.
Platon có phải người phát hiện năm khối này không?
Không. Các khối đã được phái Pythagoras và Theaetetus nghiên cứu. Tên gọi đến từ đối thoại Timaeus, nơi Platon gán mỗi khối cho một nguyên tố như lửa, đất, khí, nước và vũ trụ.
Khối đối ngẫu là gì?
Là khối thu được khi nối tâm các mặt của một khối đa diện. Lập phương và bát diện đều đối ngẫu nhau, thập nhị diện và nhị thập diện đều đối ngẫu nhau, còn tứ diện đều đối ngẫu với chính nó.