Mười ba khối Archimedes: khối đa diện bán đều và cách nhận ra chúng

Khối Archimedes là khối đa diện lồi có các mặt là đa giác đều nhưng thuộc hai loại trở lên, và mọi đỉnh giống hệt nhau. Có đúng 13 khối như vậy, không tính hai họ vô hạn là lăng trụ và phản lăng trụ. Quả bóng đá truyền thống với 12 mặt ngũ giác và 20 mặt lục giác chính là một khối Archimedes: khối nhị thập diện cụt.

Nếu năm khối Platon là "bảng chữ cái" của hình khối, thì 13 khối Archimedes là những từ ghép đầu tiên. Bài này giới thiệu chúng, cách nhận ra từng khối, và câu chuyện chúng bị lãng quên rồi được tìm lại.

Lịch sử: một cuốn sách thất lạc

Archimedes thành Syracuse (khoảng 287 – 212 trước Công nguyên) được cho là đã mô tả 13 khối này, nhưng tác phẩm của ông về chúng không còn. Ta biết đến nhờ Pappus thành Alexandria, nhà toán học thế kỷ thứ 4, người liệt kê 13 khối và ghi rằng Archimedes đã phát hiện ra chúng.

Thời Phục Hưng, các hoạ sĩ như Piero della Francesca và Leonardo da Vinci vẽ lại nhiều khối. Leonardo vẽ minh hoạ cho cuốn De divina proportione của Luca Pacioli in năm 1509. Một bức chân dung Pacioli khoảng năm 1495 còn vẽ một khối thoi tam bát diện bằng thuỷ tinh treo lơ lửng, nửa đầy nước. Năm 1619, trong cuốn Harmonices Mundi, Johannes Kepler là người đầu tiên công bố đầy đủ, có hệ thống cả 13 khối kể từ thời cổ đại.

Cách sinh ra khối Archimedes: cắt góc

Phần lớn khối Archimedes được tạo bằng cách "gọt" khối Platon. Hình dung cầm một hình lập phương bằng xà phòng, dùng dao cắt bớt tám góc. Mỗi góc cắt đi để lộ một tam giác. Nếu cắt vừa đủ, mỗi mặt vuông cũ thành một bát giác đều. Kết quả là khối lập phương cụt: 8 tam giác, 6 bát giác.

Cắt sâu hơn, đến khi các tam giác chạm nhau ở trung điểm cạnh cũ, mặt vuông thu lại thành hình vuông nhỏ xoay 45 độ. Ta được khối lập phương – bát diện (cuboctahedron): 8 tam giác, 6 hình vuông.

Tên tiếng Việt của các khối này chưa thống nhất trong sách, bảng dùng cách gọi dịch sát nghĩa để dễ nhận ra. Mọi dòng đều thoả công thức Euler: đỉnh trừ cạnh cộng mặt bằng 2.

Những khối đáng nhớ

Nhị thập diện cụt: quả bóng và phân tử

Cắt 12 góc của nhị thập diện đều, mỗi góc lộ ra một ngũ giác, 20 tam giác cũ thành lục giác. Quả bóng đá kiểu Telstar dùng ở World Cup 1970 có đúng cấu trúc này, với ngũ giác đen và lục giác trắng. Năm 1985, Harold Kroto, Robert Curl và Richard Smalley phát hiện phân tử carbon C₆₀ gồm 60 nguyên tử nằm đúng ở 60 đỉnh của khối này. Họ đặt tên là buckminsterfullerene, theo kiến trúc sư Buckminster Fuller, và nhận giải Nobel Hoá học năm 1996.

Bát diện cụt: khối duy nhất xếp kín không gian

Trong 13 khối Archimedes, chỉ có bát diện cụt (6 vuông, 8 lục giác) là xếp chồng được kín không gian không chừa khe, giống như hình lập phương. Năm 1887, Lord Kelvin đề xuất rằng một dạng hơi cong của khối này là cách chia không gian thành các ô bằng nhau với diện tích vách nhỏ nhất, như bọt xà phòng. Năm 1993, Denis Weaire và Robert Phelan tìm ra cấu trúc còn tốt hơn, về sau được dùng làm cảm hứng cho mặt ngoài Trung tâm thể thao dưới nước Bắc Kinh dịp Olympic 2008.

Hai khối "tay trái, tay phải"

Lập phương vát và thập nhị diện vát là hai khối duy nhất trong nhóm có hai phiên bản ảnh soi gương không chồng khít được lên nhau, giống đôi tay. Chúng trông như các mặt vuông hoặc ngũ giác bị "xoay nhẹ" trong một vòng tam giác.

Khối thứ 14 bị nghi ngờ

Có một khối trông rất giống thoi tam bát diện nhưng nửa trên bị xoay 45 độ so với nửa dưới. Mọi đỉnh của nó đều có ba hình vuông và một tam giác gặp nhau, đúng như khối Archimedes. Nhưng nhìn tổng thể, các đỉnh không "tương đương" nhau: đỉnh ở vòng giữa khác đỉnh ở chỏm. Khối này thường được gọi là khối của Miller hay thoi tam bát diện giả. Nó là lý do các nhà toán học phải định nghĩa cẩn thận "mọi đỉnh giống nhau" nghĩa là có một phép xoay đưa đỉnh này tới đỉnh kia, chứ không chỉ là cùng các loại mặt quanh đỉnh. Tranh luận về việc có nên gọi nó là khối Archimedes thứ 14 vẫn được nhắc trong các bài viết phổ thông.

Góc nhìn hôm nay: nhận ra khối Archimedes quanh ta

• Quả bóng đá cổ điển: đếm thử, sẽ thấy mỗi ngũ giác được bao bởi năm lục giác.
• Đèn lồng, chao đèn giấy: nhiều mẫu dựa trên thoi tam bát diện hoặc lập phương – bát diện.
• Khung leo trèo ở sân chơi: có loại dựng theo vòm trắc địa, chia nhỏ nhị thập diện.
• Tự làm: in hình trải của lập phương – bát diện và nhị thập diện cụt trên giấy cứng, cắt dán. Hoặc lấy một quả táo cắt gọt các góc của khối lập phương để thấy dần khối lập phương cụt hiện ra.

Muốn xem đầy đủ, có nhiều phần mềm hình học miễn phí cho xoay từng khối và mở hình trải. Bức tranh chân dung Luca Pacioli với khối thuỷ tinh hiện treo ở Bảo tàng Capodimonte ở Napoli, Ý.