Một hình được gọi là đối xứng khi có một phép biến đổi đưa nó về trùng khít với chính nó. Trên mặt phẳng có bốn kiểu cơ bản: đối xứng gương (lật qua một đường thẳng), đối xứng xoay (quay quanh một điểm một góc nhất định), đối xứng tịnh tiến (trượt theo một hướng, chỉ có ở hoa văn lặp vô tận) và đối xứng trượt gương (lật qua một đường rồi trượt dọc theo đường đó, như dấu chân đi trên cát). Mọi hoa văn, từ con bướm tới viên gạch lát nền, đều được tạo từ tổ hợp của bốn kiểu này.
Bài này giải thích từng kiểu bằng những ví dụ đời thường, cách nhận ra chúng, và vì sao nhà toán học lại coi đối xứng là một "nhóm".
Bốn kiểu đối xứng trên mặt phẳng
| Kiểu | Làm gì | Ví dụ dễ thấy | Cách kiểm |
|---|---|---|---|
| Đối xứng gương (phản xạ) | Lật qua một đường thẳng gọi là trục đối xứng | Con bướm, chữ A, chữ M, khuôn mặt (gần đúng) | Đặt gương nhỏ dọc trục: nửa hình và ảnh trong gương ghép thành hình đầy đủ |
| Đối xứng xoay | Quay quanh một tâm một góc nhỏ hơn 360 độ | Chong chóng, bông hoa năm cánh, chữ S, chữ Z, biểu tượng tái chế | Can hình ra giấy trong, ghim ở tâm, xoay tới khi trùng |
| Đối xứng tịnh tiến | Trượt cả hình theo một hướng một khoảng nhất định | Hàng rào song sắt, dải hoa văn trên viền áo, hàng gạch | Chỉ có ở hình lặp vô tận (hoặc coi như vô tận) |
| Đối xứng trượt gương | Lật qua một đường rồi trượt dọc đường đó | Dấu chân trái phải xen kẽ, lá mọc so le trên cành, hoa văn chữ "b p b p" | Không thấy trục gương nào, nhưng lật rồi dịch thì trùng |
Bậc của đối xứng xoay
Nếu xoay một hình 360/n độ mà nó trùng khít với chính nó, ta nói hình có đối xứng xoay bậc n. Hình vuông có bậc 4 (xoay 90 độ), tam giác đều bậc 3, sao năm cánh bậc 5, bông tuyết bậc 6, chữ S bậc 2. Hình tròn có đối xứng xoay với mọi góc, gọi là bậc vô hạn.
Gương và xoay thường đi cùng nhau
Một bông hoa năm cánh đều thường có cả đối xứng xoay bậc 5 lẫn năm trục gương. Nhưng chong chóng hay biểu tượng tái chế chỉ có đối xứng xoay mà không có trục gương nào, vì chúng có "chiều xoắn". Soi chúng vào gương ta được một hình xoắn ngược, không trùng với bản gốc.
Đối xứng trong không gian ba chiều
Lên ba chiều, ta có thêm:
- Đối xứng qua mặt phẳng: như cơ thể người (gần đúng), chiếc ghế, chiếc xe.
- Đối xứng xoay quanh trục: như cái chai, bình gốm, quạt trần.
- Đối xứng qua tâm: mỗi điểm có một điểm đối diện qua tâm, như hình lập phương hay quả bóng.
- Đối xứng xoắn ốc: xoay và đồng thời dịch dọc trục, như ren ốc, cầu thang xoắn, phân tử ADN.
Khối Platon là những vật có đối xứng ba chiều phong phú nhất. Hình lập phương có tổng cộng 48 phép đối xứng (tính cả phép quay và phản xạ), khối nhị thập diện đều có 120.
Dải hoa văn: bảy kiểu và chỉ bảy
Một dải hoa văn lặp lại theo một hướng (viền vải, diềm tường, hàng rào) chỉ có thể thuộc đúng bảy kiểu đối xứng khác nhau, gọi là bảy nhóm dải (frieze groups). Có thể minh hoạ bằng các chuỗi chữ cái:
- "F F F F": chỉ tịnh tiến.
- "b p b p": tịnh tiến và trượt gương.
- "A A A A": tịnh tiến và gương dọc.
- "N N N N": tịnh tiến và xoay nửa vòng.
- "V Λ V Λ" (chữ V xuôi và ngược xen kẽ): gương dọc, trượt gương, xoay nửa vòng.
- "D D D D": tịnh tiến và gương ngang chạy dọc dải.
- "H H H H": đủ cả gương ngang, gương dọc và xoay nửa vòng.
Con số bảy được chứng minh chặt chẽ: dù sáng tạo đến đâu, người thợ dệt hay người vẽ diềm cũng không thể tạo ra kiểu dải thứ tám về mặt đối xứng. Với hoa văn lặp kín cả mặt phẳng theo hai hướng, con số tương ứng là 17.
Vì sao nhà toán học nói "nhóm đối xứng"
Tập hợp mọi phép đối xứng của một hình có một cấu trúc đặc biệt: thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng thì được một phép đối xứng khác của cùng hình; mỗi phép có phép ngược để quay về; "không làm gì" cũng là một phép đối xứng. Cấu trúc như vậy được gọi là một nhóm. Lý thuyết nhóm, phát triển từ thế kỷ 19 với Évariste Galois và nhiều người khác, đã trở thành ngôn ngữ chung để nói về đối xứng trong toán học, vật lý hạt cơ bản, hoá học tinh thể.
Ví dụ đơn giản: hình vuông có tám phép đối xứng (bốn phép xoay 0, 90, 180, 270 độ và bốn phép lật qua bốn trục). Lật qua trục dọc rồi xoay 90 độ cho kết quả giống hệt lật qua một đường chéo. Thử với một tấm bìa vuông có đánh dấu bốn góc sẽ thấy ngay.
Đối xứng trong đời sống
- Thiết kế logo: nhiều logo có đối xứng xoay hay gương để dễ nhớ, cân bằng.
- Kiến trúc: mặt tiền đình, chùa, nhà thờ thường đối xứng gương qua trục giữa, tạo cảm giác trang nghiêm.
- Hoa văn truyền thống: hoa văn trên gốm, thổ cẩm, chạm gỗ của nhiều dân tộc ở Việt Nam dùng các dải lặp và đối xứng gương rất phong phú.
- Hoá học: hai phân tử là ảnh soi gương của nhau có thể có tác dụng khác nhau trong cơ thể; đây là lý do ngành dược phải phân biệt chúng.
Góc nhìn hôm nay: săn đối xứng quanh nhà
- Lấy một gương nhỏ, đặt lên các chữ cái in hoa trong một tờ báo. Chữ nào có trục gương dọc (A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y), chữ nào có trục ngang (B, C, D, E, H, I, K, O, X)?
- Tìm năm đồ vật có đối xứng xoay trong bếp (nắp nồi, đĩa hoa, cánh quạt…). Xác định bậc của từng cái.
- Chụp ảnh ba dải hoa văn (viền khăn, lan can, diềm gạch). Thử xếp mỗi dải vào một trong bảy kiểu ở trên.
- Gấp đôi tờ giấy, cắt một hình bất kỳ ở mép gấp, mở ra: đối xứng gương. Gấp tờ giấy thành nhiều nếp như cái quạt rồi cắt: được dải hoa văn có tịnh tiến và gương.
Câu hỏi thường gặp
Có những kiểu đối xứng nào?
Trên mặt phẳng có bốn kiểu cơ bản: đối xứng gương (lật qua trục), đối xứng xoay (quay quanh tâm), đối xứng tịnh tiến (trượt theo hướng) và đối xứng trượt gương (lật rồi trượt dọc trục). Mọi hoa văn đều tạo từ tổ hợp của chúng.
Đối xứng xoay bậc 4 là gì?
Là khi xoay hình một góc 90 độ, tức 360 chia 4, thì hình trùng khít với chính nó. Hình vuông có đối xứng xoay bậc 4, tam giác đều bậc 3, bông tuyết bậc 6.
Đối xứng trượt gương là gì?
Là phép lật hình qua một đường thẳng rồi trượt dọc đường đó. Dấu chân trái phải xen kẽ trên cát là ví dụ dễ thấy: không có trục gương nào, nhưng lật rồi dịch thì dấu chân này trùng dấu chân kế tiếp.
Dải hoa văn có bao nhiêu kiểu đối xứng?
Có đúng bảy kiểu đối xứng khác nhau cho dải hoa văn lặp theo một hướng, gọi là bảy nhóm dải. Với hoa văn lặp kín mặt phẳng theo hai hướng, có đúng mười bảy kiểu.
Vì sao chong chóng không có trục đối xứng gương?
Vì chong chóng có chiều xoắn: soi vào gương ta được chong chóng xoắn ngược chiều, không trùng với bản gốc. Nó chỉ có đối xứng xoay mà không có đối xứng gương.