Mọi hoa văn lặp lại kín cả mặt phẳng theo hai hướng, như giấy dán tường, gạch lát nền, vải in, đều thuộc về đúng một trong 17 kiểu đối xứng, gọi là 17 nhóm hình nền (wallpaper groups). Không thể có kiểu thứ 18. Nhà tinh thể học Nga Evgraf Fedorov chứng minh điều này năm 1891, và nhà toán học George Pólya công bố lại năm 1924 kèm hình minh hoạ cho từng kiểu, bài báo mà M. C. Escher về sau nghiên cứu kỹ.
Bài này giải thích vì sao lại có giới hạn 17, các yếu tố dùng để phân loại, và cách tự nhận ra kiểu đối xứng của một tấm gạch hay mảnh vải.
Hoa văn lặp: ô cơ sở và lưới
Mỗi hoa văn lặp kín mặt phẳng đều có thể chia thành những ô cơ sở giống hệt nhau, xếp theo một lưới. Dịch ô này theo hai hướng của lưới là ra toàn bộ hoa văn. Ô cơ sở có thể là hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, hình thoi hay ô hình lục giác (ghép từ hai tam giác đều).
Nhưng hai hoa văn có cùng lưới vẫn có thể khác nhau về đối xứng: bên trong mỗi ô, hình vẽ có thể có thêm trục gương, tâm xoay, trục trượt gương. Chính các đối xứng phụ này phân biệt 17 kiểu.
Vì sao chỉ có xoay bậc 2, 3, 4, 6
Trong một hoa văn lặp tuần hoàn theo hai hướng, các tâm xoay chỉ có thể là bậc 2 (xoay 180 độ), bậc 3 (120 độ), bậc 4 (90 độ) hoặc bậc 6 (60 độ). Không thể có bậc 5, bậc 7 hay cao hơn. Đây gọi là định lý giới hạn tinh thể học.
Cách hình dung: thử lát sàn bằng ngũ giác đều, luôn để lại khe hở; thử với hình bảy cạnh đều, các mảnh chồng lên nhau. Lập luận chặt chẽ dựa trên việc nếu có hai tâm xoay bậc 5 gần nhau nhất, xoay cái này quanh cái kia sẽ sinh ra hai tâm còn gần nhau hơn, mâu thuẫn. Giới hạn này cũng áp dụng cho mạng tinh thể, nên tinh thể thường không có đối xứng bậc 5 (chuẩn tinh thể là ngoại lệ vì không tuần hoàn).
Bảng 17 kiểu hoa văn
Mỗi kiểu có một ký hiệu quốc tế. Bảng dưới gom chúng theo bậc xoay lớn nhất:
| Bậc xoay lớn nhất | Số kiểu | Ký hiệu | Ví dụ gần gũi |
|---|---|---|---|
| Không có xoay | 4 | p1, pm, pg, cm | Vải in một hoạ tiết không đối xứng lặp đều (p1); nhiều hàng lá mọc so le xếp cạnh nhau (pg) |
| Bậc 2 | 5 | p2, pmm, pmg, pgg, cmm | Tường gạch xây thông thường (cmm), sàn gỗ lát xương cá (pgg) |
| Bậc 3 | 3 | p3, p3m1, p31m | Một số hoa văn tam giác chong chóng |
| Bậc 4 | 3 | p4, p4m, p4g | Gạch vuông ô cờ (p4m), gạch bông có hoạ tiết xoắn (p4) |
| Bậc 6 | 2 | p6, p6m | Tổ ong lục giác đều (p6m) |
Tổng cộng 4 + 5 + 3 + 3 + 2 = 17. Chữ "p" nghĩa là ô cơ sở nguyên thuỷ, "c" là ô có tâm; "m" chỉ trục gương, "g" chỉ trục trượt gương; con số chỉ bậc xoay lớn nhất.
Cách nhận ra kiểu của một hoa văn
Nhà toán học John Conway đề xuất một cách đặt câu hỏi dễ làm theo. Đơn giản hoá, bạn có thể hỏi lần lượt:
- Bậc xoay lớn nhất là bao nhiêu? Tìm một điểm mà quanh nó hoa văn xoay được. Thử xoay 60, 90, 120, 180 độ.
- Có trục gương không? Đặt một chiếc gương nhỏ dựng đứng trên hoa văn. Có chỗ nào nửa hình và ảnh gương ghép lại đúng hoa văn không?
- Có trượt gương không nằm trên trục gương? Tìm những đường mà lật qua rồi trượt thì hoa văn trùng lại.
- Các tâm xoay có nằm trên trục gương không? Câu này phân biệt các cặp như p4m với p4g, p3m1 với p31m.
Với bốn câu trả lời này, cộng với một sơ đồ phân loại (có nhiều bản miễn phí trên mạng với từ khoá "wallpaper group flowchart"), bạn xác định được kiểu của gần như mọi hoa văn.
Ví dụ: tường gạch
Một bức tường gạch xây thông thường, các viên gạch xếp so le từng hàng, nhìn như hoa văn hai màu (gạch và vữa):
- Có tâm xoay bậc 2 ở giữa mỗi viên gạch và ở giữa các mạch vữa.
- Có trục gương ngang qua giữa mỗi hàng gạch và trục gương dọc qua giữa mỗi viên.
- Ô cơ sở có tâm vì các hàng so le.
Kết luận: kiểu cmm.
Lịch sử ngắn
- Nghệ thuật cổ: các nền văn minh Ai Cập, Trung Hoa, Ba Tư, thế giới Hồi giáo và nhiều nền văn hoá khác đã tạo ra hoa văn thuộc rất nhiều kiểu trong 17 kiểu từ hàng nghìn năm trước, bằng trực giác và kỹ thuật thủ công.
- 1891: Evgraf Fedorov phân loại trọn vẹn 17 nhóm, cùng năm với Arthur Schoenflies làm việc tương tự trong ba chiều (230 nhóm không gian của tinh thể).
- 1924: George Pólya và Paul Niggli công bố lại và minh hoạ 17 kiểu. Escher đọc bài của Pólya sau chuyến thăm Alhambra năm 1936 và dùng nó làm "sách ngữ pháp" cho các bức tranh lát hình của mình.
- Thế kỷ 20: nhà tinh thể học, nhà nhân học dùng 17 nhóm để nghiên cứu hoa văn dệt, gốm của các nền văn hoá, như công trình của Dorothy Washburn và Donald Crowe.
Lên ba chiều: 230 nhóm không gian
Nếu hoa văn lặp kín không gian ba chiều, như cách nguyên tử xếp trong tinh thể, số kiểu đối xứng là 230. Các nhà tinh thể học dùng chúng để mô tả cấu trúc của mọi chất rắn kết tinh, từ muối ăn tới protein. Khi xác định cấu trúc một loại thuốc mới, việc đầu tiên là tìm nhóm không gian của tinh thể.
Góc nhìn hôm nay: tự phân loại hoa văn
- Chụp ảnh năm hoa văn lặp quanh bạn: gạch lát sân, giấy dán tường, vải áo, lưới thép hàng rào, nắp cống.
- Với mỗi ảnh, trả lời bốn câu hỏi ở trên và tra sơ đồ phân loại.
- Tạo hoa văn của riêng bạn: vẽ một hình nhỏ không đối xứng (ví dụ chữ F), rồi lặp lại nó theo các quy tắc khác nhau: chỉ dịch (p1), dịch và xoay 180 độ (p2), dịch và gương (pm). Bạn sẽ tự thấy các kiểu khác nhau thế nào.
Muốn đọc sâu, cuốn The Symmetries of Things (2008) của John Conway, Heidi Burgiel và Chaim Goodman-Strauss trình bày 17 nhóm bằng hệ ký hiệu orbifold trực quan, rất nhiều hình đẹp.
Câu hỏi thường gặp
17 nhóm hình nền là gì?
Là 17 kiểu đối xứng duy nhất có thể có của một hoa văn lặp kín mặt phẳng theo hai hướng, như giấy dán tường hay gạch lát. Evgraf Fedorov chứng minh không có kiểu thứ 18 vào năm 1891.
Vì sao hoa văn lặp không có đối xứng xoay bậc 5?
Vì định lý giới hạn tinh thể học chỉ cho phép tâm xoay bậc 2, 3, 4 và 6 trong hoa văn lặp tuần hoàn. Giống như không thể lát kín sàn bằng ngũ giác đều mà không để khe hở.
Làm sao biết một hoa văn thuộc kiểu nào trong 17 kiểu?
Hỏi lần lượt: bậc xoay lớn nhất là bao nhiêu, có trục gương không, có trượt gương không nằm trên trục gương không, và tâm xoay có nằm trên trục gương không. Rồi tra theo sơ đồ phân loại.
Escher có dùng 17 nhóm hình nền không?
Có. Sau khi thăm Alhambra năm 1936, Escher nghiên cứu bài báo năm 1924 của George Pólya minh hoạ 17 kiểu, và dùng nó làm nền cho các tranh lát hình con vật của mình.
Trong không gian ba chiều có bao nhiêu kiểu đối xứng lặp?
Có 230 nhóm không gian, mô tả mọi cách xếp lặp tuần hoàn trong ba chiều. Các nhà tinh thể học dùng chúng để mô tả cấu trúc nguyên tử của mọi chất rắn kết tinh.