Chỉ có ba loại đa giác đều lát kín được mặt phẳng một mình: tam giác đều, hình vuông và lục giác đều, vì góc của chúng (60, 90, 120 độ) là ước của 360 độ. Nếu cho phép phối hợp nhiều loại đa giác đều với điều kiện mọi đỉnh giống nhau, có thêm đúng 8 kiểu lát nữa, gọi là lát Archimedes. Còn với đa giác không đều, mọi tam giác và mọi tứ giác đều lát được, ngũ giác lồi thì chỉ có đúng 15 dạng, một bài toán mất gần một thế kỷ mới giải xong năm 2017.
Lát mặt phẳng là bài toán hình học "ra ngoài đời" nhất: mỗi lần lát gạch, xếp tổ ong, cắt bánh hay ghép vải, ta đều đang giải nó. Bài này đi qua các kết quả chính và câu chuyện thú vị đằng sau.
Ba kiểu lát đều
Điều kiện để các viên gạch giống hệt nhau gặp nhau kín quanh một đỉnh là tổng các góc phải đúng bằng 360 độ:
| Đa giác đều | Góc trong | Số viên quanh một đỉnh | Lát được? |
|---|---|---|---|
| Tam giác đều | 60° | 6 | Có |
| Hình vuông | 90° | 4 | Có |
| Ngũ giác đều | 108° | 3,33… | Không: ba viên còn hở 36°, bốn viên thì chồng |
| Lục giác đều | 120° | 3 | Có |
| Bát giác đều | 135° | 2,67… | Không |
| Đa giác nhiều cạnh hơn | Trên 120° | Ít hơn 3 | Không |
Lập luận này cũng chính là lập luận chỉ có năm khối Platon, chỉ khác điều kiện "bằng 360 độ" thay vì "nhỏ hơn 360 độ". Lát phẳng là trường hợp "giới hạn" khi khối đa diện bị kéo phẳng ra.
Vì sao tổ ong chọn lục giác
Trong ba kiểu lát đều, lục giác có chu vi nhỏ nhất cho cùng một diện tích ô. Với ong, chu vi là sáp, sáp tốn năng lượng để tiết ra. Ý tưởng này đã được nhà học giả La Mã Marcus Terentius Varro nêu từ thế kỷ 1 trước Công nguyên, nhưng phải tới năm 1999, nhà toán học Thomas Hales mới chứng minh chặt chẽ "giả thuyết tổ ong": trong mọi cách chia mặt phẳng thành các ô cùng diện tích (kể cả ô có cạnh cong), lục giác đều cho tổng chu vi nhỏ nhất.
Lục giác còn có ưu điểm khác: mỗi ô tiếp giáp sáu ô xung quanh qua sáu cạnh bằng nhau, nên lực phân bố đều, tổ vững. Đó là lý do mặt cắt nhiều vật liệu nhẹ mà cứng, như tấm nhôm tổ ong dùng trong máy bay, cũng theo dạng này.
Tám kiểu lát Archimedes
Nếu dùng hai hoặc ba loại đa giác đều, với điều kiện mọi đỉnh có cùng một cách sắp xếp, có đúng 8 kiểu lát. Người ta gọi tên theo các đa giác quanh một đỉnh, ví dụ:
- 3.6.3.6: tam giác, lục giác, tam giác, lục giác (kiểu "lưới kagome" hay gặp trong rổ đan tre).
- 4.8.8: một hình vuông và hai bát giác, rất phổ biến trên sàn gạch nhà tắm.
- 3.12.12: một tam giác và hai thập nhị giác.
- 4.6.12: hình vuông, lục giác, thập nhị giác.
- 3.3.3.3.6: bốn tam giác và một lục giác; kiểu này có hai phiên bản là ảnh gương của nhau.
- Ba kiểu còn lại: 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4, 3.4.6.4.
Johannes Kepler là người đầu tiên mô tả đầy đủ các kiểu lát này trong cuốn Harmonices Mundi năm 1619, cùng cuốn sách ông liệt kê 13 khối Archimedes.
Đa giác không đều: tam giác và tứ giác luôn lát được
- Tam giác bất kỳ: ghép hai bản sao (một bản xoay 180 độ) thành hình bình hành, mà hình bình hành thì lát được.
- Tứ giác bất kỳ, kể cả lõm: xoay 180 độ quanh trung điểm mỗi cạnh, bốn góc của bốn bản sao gặp nhau ở một đỉnh, tổng đúng 360 độ (vì tổng bốn góc của tứ giác là 360 độ). Thử cắt một tứ giác méo bất kỳ bằng bìa và lát thử, sẽ thấy nó luôn khít.
Ngũ giác: câu chuyện kéo dài một thế kỷ
Ngũ giác đều không lát được, nhưng một số ngũ giác lồi không đều thì được. Câu hỏi "có bao nhiêu dạng ngũ giác lồi lát được mặt phẳng" có một lịch sử thú vị:
| Năm | Người | Kết quả |
|---|---|---|
| 1918 | Karl Reinhardt | Tìm ra 5 dạng, tưởng là đủ |
| 1968 | Richard Kershner | Thêm 3 dạng, tuyên bố là đủ 8 |
| 1975 | Richard James | Một kỹ sư máy tính, đọc bài của Martin Gardner trên Scientific American, tìm ra dạng thứ 9 |
| 1976 – 1977 | Marjorie Rice | Một bà nội trợ ở San Diego không học toán chính quy, tự đặt ký hiệu riêng, tìm ra thêm 4 dạng |
| 1985 | Rolf Stein | Dạng thứ 14 |
| 2015 | Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann, David Von Derau | Dùng máy tính tìm ra dạng thứ 15 |
| 2017 | Michaël Rao | Chứng minh (có máy tính hỗ trợ) rằng chỉ có đúng 15 dạng |
Câu chuyện của Marjorie Rice thường được nhắc như minh chứng rằng một người không chuyên, chỉ với niềm say mê và trí tưởng tượng không gian, vẫn có thể đóng góp thật cho toán học.
Còn với đa giác lồi từ bảy cạnh trở lên, đã được chứng minh từ đầu thế kỷ 20 là không lát được. Lục giác lồi lát được có đúng ba dạng, do Reinhardt tìm ra năm 1918.
Lát gạch ngoài đời
- Gạch bông truyền thống ở các nhà phố cũ Việt Nam là gạch vuông có hoa văn. Ghép bốn viên lại thường ra một hoa văn lớn có đối xứng xoay bậc 4.
- Gạch lục giác ngày càng phổ biến trong nhà tắm, bếp. Cần chú ý mép tường: lục giác không khớp với cạnh thẳng, phải cắt nửa viên dọc mép.
- Sàn gỗ xương cá là một kiểu lát bằng hình chữ nhật xếp vuông góc, thuộc kiểu đối xứng pgg.
- Vỉa hè gạch tự chèn hình chữ I, chữ S ghép khít, giữ nhau không xô lệch khi xe chạy qua.
Góc nhìn hôm nay: tự thử các bài toán lát
- Cắt ba bộ gạch bìa: tam giác đều, hình vuông, lục giác đều cùng cạnh 3 cm. Thử ghép quanh một điểm để thấy vì sao chỉ ba loại này lát được.
- Cắt một bộ tứ giác méo bất kỳ (khoảng 12 viên giống hệt). Xoay 180 độ xen kẽ và lát thử.
- Thử dựng kiểu lát 4.8.8 bằng hình vuông và bát giác. Đếm: mỗi bát giác được bao bởi bao nhiêu hình vuông?
- Tìm hình dạng của mười lăm loại ngũ giác (có nhiều hình minh hoạ trên mạng), in một loại và cắt hai chục viên để lát thử.
Câu hỏi thường gặp
Đa giác đều nào lát kín được mặt phẳng?
Chỉ có tam giác đều, hình vuông và lục giác đều, vì góc của chúng là 60, 90 và 120 độ, đều là ước của 360 độ. Ngũ giác đều và các đa giác đều khác không lát kín được.
Vì sao ô tổ ong hình lục giác?
Vì trong mọi cách chia mặt phẳng thành các ô cùng diện tích, lục giác đều cho tổng chu vi nhỏ nhất, nên ong tốn ít sáp nhất. Thomas Hales chứng minh chặt chẽ điều này năm 1999.
Có bao nhiêu loại ngũ giác lát được mặt phẳng?
Có đúng 15 dạng ngũ giác lồi lát được mặt phẳng. Dạng cuối cùng được tìm ra năm 2015, và năm 2017 Michaël Rao chứng minh danh sách đã đủ.
Tứ giác bất kỳ có lát được mặt phẳng không?
Có. Mọi tứ giác, kể cả tứ giác lõm, đều lát được bằng cách xoay 180 độ quanh trung điểm các cạnh, vì tổng bốn góc của tứ giác luôn bằng 360 độ.
Lát Archimedes là gì?
Là 8 kiểu lát mặt phẳng dùng hai hoặc ba loại đa giác đều, với mọi đỉnh có cùng cách sắp xếp, như kiểu hình vuông và bát giác hay gặp trên sàn nhà tắm. Kepler mô tả chúng năm 1619.