Lát Penrose: hoa văn có trật tự mà không bao giờ lặp lại

Lát Penrose là cách lát kín mặt phẳng bằng chỉ hai loại viên gạch, theo những quy tắc ghép nhất định, sao cho hoa văn không bao giờ lặp lại tuần hoàn: dịch cả hoa văn đi bao xa cũng không trùng với chính nó. Dù vậy nó vẫn có trật tự rõ ràng, với những ngôi sao và bông hoa năm cánh xuất hiện khắp nơi. Nhà toán học Roger Penrose công bố các bộ gạch này giữa thập niên 1970. Năm 2023, các nhà nghiên cứu còn tìm ra một viên gạch duy nhất có tính chất tương tự, gọi là viên "mũ".

Bài này giải thích lát "không tuần hoàn" là gì, hai bộ gạch Penrose nổi tiếng, mối liên hệ bất ngờ với chuẩn tinh thể, và cách tự cắt gạch để lát.

Tuần hoàn và không tuần hoàn

Hầu hết hoa văn quen thuộc như gạch vuông, tổ ong, giấy dán tường là tuần hoàn: có một "ô cơ sở", dịch nó theo hai hướng là ra toàn bộ hoa văn. Một lát gạch là không tuần hoàn nếu không có phép dịch nào đưa nó trùng với chính nó.

Nhiều loại gạch có thể lát cả hai kiểu. Ví dụ, gạch vuông vẫn có thể xếp lệch ngẫu nhiên từng hàng để không tuần hoàn. Câu hỏi khó hơn là: có bộ gạch nào chỉ lát được theo cách không tuần hoàn không, tức là không có cách nào ghép chúng thành hoa văn lặp? Một bộ gạch như vậy gọi là bộ gạch phi tuần hoàn (aperiodic).

Từ 20.426 viên đến 2 viên

David Smith là một người say mê hình học nghiệp dư ở Anh. Ông tìm ra hình dạng viên "mũ" khi tự cắt và thử ghép các hình trên máy tính và bằng bìa, rồi liên hệ với các nhà toán học để chứng minh. Câu chuyện giống trường hợp Marjorie Rice với các ngũ giác lát mặt phẳng.

Hai bộ gạch Penrose nổi tiếng

Diều và phi tiêu

Hai viên gạch đều tạo từ một hình thoi có góc 72 và 108 độ, chia theo tỉ lệ vàng:

• Diều (kite): tứ giác lồi, giống cánh diều.
• Phi tiêu (dart): tứ giác lõm, giống mũi tên.

Nếu ghép tự do, diều và phi tiêu có thể ghép lại thành hình thoi rồi lát tuần hoàn. Để cấm điều đó, Penrose thêm quy tắc ghép: đánh dấu các đỉnh bằng hai màu (hoặc vẽ những đường cong trên mặt gạch), và chỉ cho ghép khi màu khớp màu, đường cong nối liền đường cong. Với quy tắc này, mọi cách lát kín mặt phẳng đều không tuần hoàn.

Hai hình thoi

Bộ thứ hai gồm hai hình thoi có cạnh bằng nhau: một hình thoi "béo" với góc 72 và 108 độ, một hình thoi "gầy" với góc 36 và 144 độ, cũng kèm quy tắc ghép. Đây là bộ hay được dùng làm gạch lát thật, vì cả hai viên đều lồi, dễ sản xuất.

Tỉ lệ vàng ở khắp nơi

Trong một lát Penrose rất lớn, tỉ số giữa số diều và số phi tiêu (hay số thoi béo và thoi gầy) tiến dần tới tỉ lệ vàng, khoảng 1,618. Đây là một trong những nơi tỉ lệ vàng xuất hiện thật sự trong toán học, chứ không phải gán ghép như nhiều huyền thoại khác.

Có trật tự mà không lặp

Lát Penrose có những tính chất kỳ lạ:

• Đối xứng bậc 5 cục bộ: có rất nhiều cụm hình sao năm cánh, bông hoa năm cánh. Điều này không thể có trong hoa văn tuần hoàn, vì định lý giới hạn tinh thể học cấm đối xứng xoay bậc 5.
• Tự đồng dạng: có thể nhóm các viên gạch lại thành những "siêu gạch" lớn hơn có cùng hình dạng, rồi nhóm tiếp. Hoa văn trông giống nhau ở nhiều tỉ lệ, gần với ý tưởng fractal.
• Mọi mảnh hữu hạn đều lặp lại: lấy một mảng nhỏ bất kỳ, nó sẽ xuất hiện lại vô số lần ở những nơi khác trong lát, chỉ là không theo một chu kỳ đều. Nhìn một mảng nhỏ, không thể biết mình đang ở "chỗ nào" của lát.

Từ trò hình học tới giải Nobel Hoá học

Năm 1982, nhà khoa học vật liệu Dan Shechtman quan sát một hợp kim nhôm – mangan cho ảnh nhiễu xạ điện tử có đối xứng bậc 10, một điều tưởng như không thể với tinh thể. Ông bị nhiều đồng nghiệp hoài nghi gay gắt. Lời giải thích hoá ra rất gần với lát Penrose: nguyên tử trong vật liệu xếp theo một trật tự không tuần hoàn, phiên bản ba chiều của lát Penrose. Những vật liệu này được gọi là chuẩn tinh thể. Shechtman nhận giải Nobel Hoá học năm 2011.

Lát Penrose ngoài đời

• Sân, sàn, mặt tiền của một số trường đại học, bảo tàng, quảng trường trên thế giới được lát bằng gạch Penrose.
• Năm 1997, Penrose và công ty giữ bản quyền đã kiện một hãng sản xuất giấy vệ sinh vì dập nổi hoa văn Penrose lên sản phẩm mà không xin phép. Vụ việc được báo chí đưa tin như một chuyện vui hiếm có giữa toán học và luật bản quyền; hai bên được cho là đã giải quyết ngoài toà.
• Như đã kể trong bài về Alhambra, các mảng hoa văn girih thế kỷ 15 ở Iran có cấu trúc gần với lát Penrose, theo nghiên cứu năm 2007 của Peter Lu và Paul Steinhardt.

Góc nhìn hôm nay: cắt gạch và lát thử

1. Tìm mẫu in gạch Penrose kiểu hai hình thoi (từ khoá "Penrose rhombs printable"). In lên giấy cứng hai màu, mỗi loại vài chục viên. Nhớ in cả những đường cong đánh dấu quy tắc ghép.
2. Bắt đầu bằng một bông hoa năm cánh gồm năm thoi béo quanh một đỉnh. Lát dần ra ngoài, luôn tuân quy tắc đường cong nối liền.
3. Bạn sẽ thấy có lúc "bí": không viên nào đặt được. Khi đó phải gỡ ra vài viên và thử lại. Đây chính là cảm giác của các nhà toán học khi nghiên cứu lát không tuần hoàn: quy tắc cục bộ đơn giản mà hệ quả toàn cục rất khó đoán.
4. Thử in viên "mũ" năm 2023 và lát. Để ý số viên phải lật gương.