Câu đố gấp giấy đục lỗ cho một tờ giấy được gấp một vài lần, đục một hoặc vài lỗ xuyên qua mọi lớp, rồi hỏi: khi mở ra, các lỗ nằm ở đâu? Chìa khoá là hai quy tắc: mỗi lần gấp đôi, số lỗ nhân đôi, và các lỗ đối xứng qua nếp gấp như ảnh trong gương. Mở ngược từng nếp, mỗi nếp lấy đối xứng một lần, là ra đáp án. Họ hàng của nó là định lý "gấp và cắt": với đủ khéo léo, mọi hình đa giác đều có thể cắt ra chỉ bằng một nhát kéo thẳng sau khi gấp giấy.
Bài này đi sâu vào cách giải từng dạng, những bẫy thường gặp, và mặt toán học thú vị phía sau, khác với phần giới thiệu chung về các bài thử trong danh mục tư duy không gian.
Hai quy tắc nền
| Quy tắc | Vì sao | Ví dụ |
|---|---|---|
| Số lỗ = số lớp giấy tại chỗ đục | Mỗi lớp bị đục một lỗ | Gấp đôi hai lần, đục ở chỗ có 4 lớp, mở ra được 4 lỗ |
| Lỗ đối xứng qua nếp gấp | Hai lớp áp sát nhau qua nếp là ảnh gương của nhau | Gấp dọc giữa, đục cách nếp 1 cm bên phải, mở ra thêm một lỗ cách nếp 1 cm bên trái |
Lưu ý: không phải chỗ nào trên tờ giấy đã gấp cũng có cùng số lớp. Gấp chéo một góc, phần bị gấp có hai lớp, phần còn lại một lớp. Đục ở phần một lớp chỉ ra một lỗ.
Giải từng bước: mở ngược
- Vẽ hình cuối cùng (tờ giấy đã gấp) và đánh dấu lỗ.
- Mở nếp gấp cuối cùng trước. Vẽ lại tờ giấy trước khi gấp nếp đó. Lỗ cũ giữ nguyên chỗ; thêm lỗ mới là ảnh đối xứng của lỗ cũ qua nếp vừa mở, nếu chỗ đó nằm trong phần bị gấp.
- Lặp lại với nếp trước đó, áp dụng đối xứng cho tất cả lỗ hiện có.
- Kiểm số lỗ: tổng phải bằng số lớp tại chỗ đục ban đầu.
Người mới hay cố "mở hết một lần" trong đầu và đánh mất một lỗ. Mở từng nếp, vẽ ra giấy nháp, gần như không bao giờ sai.
Những dạng thường gặp
Gấp đôi theo chiều dọc rồi chiều ngang
Tờ giấy vuông gấp làm tư, đục một lỗ gần góc chung. Mở ra: bốn lỗ đối xứng qua cả hai đường giữa, tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật (hoặc hình vuông) quanh tâm.
Gấp chéo
Gấp theo đường chéo, lỗ đối xứng qua đường chéo. Cách hình dung: đổi chỗ "khoảng cách tới cạnh trên" với "khoảng cách tới cạnh trái". Một lỗ ở vị trí (2, 5) sẽ có ảnh ở (5, 2).
Gấp lệch, không phải gấp đôi
Gấp một dải rộng một phần ba tờ giấy vào trong. Chỉ phần dải đó có hai lớp. Đây là bẫy kinh điển: người làm áp dụng đối xứng cho cả tờ trong khi chỉ phần chồng lớp mới nhân lỗ.
Đục lỗ hình không đối xứng
Nếu lỗ đục là hình tam giác hay hình chữ L chứ không phải hình tròn, mỗi ảnh đối xứng sẽ bị lật. Qua hai nếp gấp, hình xuất hiện cả bản gốc, bản lật và bản xoay 180 độ. Dạng này kiểm tra được việc người làm có hiểu đúng phép đối xứng gương hay không.
Cắt góc thay vì đục lỗ
Gấp tư rồi cắt một góc chéo ở góc chứa tâm tờ giấy: mở ra là một lỗ hình thoi hoặc hình vuông ở chính giữa. Cắt ở góc ngoài: bốn góc tờ giấy bị vạt. Nhiều đề thi dùng dạng này.
Định lý gấp và cắt
Năm 1998, các nhà khoa học máy tính Erik Demaine, Martin Demaine và Anna Lubiw chứng minh một định lý đáng kinh ngạc: mọi hình gồm các đoạn thẳng vẽ trên một tờ giấy (một ngôi sao, chữ cái, con thiên nga đa giác, thậm chí nhiều hình rời nhau) đều có thể cắt ra bằng cách gấp tờ giấy phẳng sao cho mọi đường viền nằm chồng lên cùng một đường thẳng, rồi cắt một nhát thẳng dọc đường đó. Marshall Bern và các cộng sự cũng đưa ra một chứng minh khác cùng thời.
Bài toán có lịch sử lâu đời:
- Một sách câu đố Nhật Bản năm 1721 đã có đề cắt hình bằng một nhát sau khi gấp.
- Có giai thoại ở Mỹ kể rằng bà Betsy Ross thuyết phục George Washington dùng ngôi sao năm cánh trên lá cờ bằng cách gấp giấy và cắt ra ngôi sao chỉ với một nhát kéo. Đây là chuyện kể dân gian, không có sử liệu chắc chắn.
- Ảo thuật gia Harry Houdini có viết về trò cắt ngôi sao năm cánh bằng một nhát trong một cuốn sách năm 1922.
- Martin Gardner giới thiệu bài toán trên tạp chí Scientific American năm 1960.
Đây là ví dụ đẹp về việc một trò gấp giấy dân gian trở thành một định lý toán học thật sự, và có ứng dụng trong việc thiết kế cách gấp những tấm vật liệu như túi khí hay pin mặt trời trên vệ tinh.
Cắt ngôi sao năm cánh bằng một nhát
- Lấy tờ giấy hình chữ nhật, gấp đôi theo chiều ngang (gấp từ trên xuống).
- Đánh dấu trung điểm của cạnh gấp. Từ điểm đó, gấp góc trái lên sao cho các nếp chia góc 180 độ ở trung điểm thành những góc 36 độ (năm phần bằng nhau). Có nhiều hướng dẫn có hình minh hoạ trên mạng với từ khoá "one cut star"; lần đầu nên làm theo hình.
- Sau khi gấp xong, tờ giấy thành một hình nêm nhọn nhiều lớp. Cắt một nhát chéo qua nêm.
- Mở ra: một ngôi sao năm cánh. Góc nhát cắt quyết định sao béo hay sao gầy.
Góc nhìn hôm nay: bộ đề tự làm
- Cấp 1: gấp đôi một lần, đục một lỗ. Đoán, rồi mở.
- Cấp 2: gấp tư, đục hai lỗ ở hai chỗ khác nhau, một chỗ bốn lớp và một chỗ chỉ hai lớp (nếu gấp lệch).
- Cấp 3: gấp chéo rồi gấp đôi, đục một lỗ hình tam giác bằng kéo nhỏ. Vẽ đáp án có cả hướng của từng tam giác.
- Cấp 4: đổi vai: vẽ trước một mẫu lỗ đối xứng trên giấy chưa gấp, rồi tìm cách gấp và đục ít lỗ nhất để tạo ra mẫu đó.
- Cấp 5: thử cắt chữ cái in hoa đơn giản như L, T, H bằng một nhát kéo. Gợi ý: gấp sao cho mọi cạnh của chữ chồng lên một đường thẳng.
Cẩn thận khi dùng kéo và dùi đục lỗ với trẻ nhỏ; có thể dùng dụng cụ bấm lỗ văn phòng cho an toàn hơn.
Câu hỏi thường gặp
Làm bài gấp giấy đục lỗ thế nào cho đúng?
Mở ngược từng nếp gấp, bắt đầu từ nếp cuối cùng. Mỗi lần mở, lấy đối xứng mọi lỗ hiện có qua nếp vừa mở, nếu lỗ nằm trong phần bị gấp. Cuối cùng kiểm tổng số lỗ bằng số lớp giấy tại chỗ đục.
Gấp đôi hai lần rồi đục một lỗ thì mở ra được mấy lỗ?
Nếu đục ở chỗ có đủ bốn lớp giấy thì mở ra được bốn lỗ, đối xứng qua hai đường gấp. Nếu chỗ đục chỉ có hai lớp do gấp lệch thì chỉ ra hai lỗ.
Định lý gấp và cắt là gì?
Là định lý năm 1998 của Erik Demaine, Martin Demaine và Anna Lubiw: mọi hình gồm các đoạn thẳng trên tờ giấy đều có thể cắt ra bằng cách gấp phẳng tờ giấy rồi cắt một nhát thẳng duy nhất.
Có cắt được ngôi sao năm cánh bằng một nhát kéo không?
Có. Gấp tờ giấy sao cho mười cạnh của ngôi sao chồng lên một đường thẳng, rồi cắt một nhát. Cách này được Houdini mô tả năm 1922 và là một trường hợp của định lý gấp và cắt.
Vì sao lỗ hình tam giác khi mở ra lại bị lật hướng?
Vì mỗi nếp gấp là một phép đối xứng gương, lỗ ở lớp dưới là ảnh gương của lỗ ở lớp trên. Hình không đối xứng như tam giác lệch hay chữ L sẽ xuất hiện cả bản gốc lẫn bản lật.