Pentomino là những hình ghép từ năm ô vuông bằng nhau nối liền cạnh. Không tính các hình chỉ khác nhau do xoay hay lật, có đúng 12 pentomino, thường được đặt tên theo 12 chữ cái mà chúng giống: F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z. Tổng diện tích 12 mảnh là 60 ô, và bài toán kinh điển là xếp kín một hình chữ nhật 6 × 10 bằng cả 12 mảnh: có đúng 2.339 cách. Nhà toán học Solomon Golomb đặt tên và phổ biến chúng từ năm 1953.
Pentomino là một bài luyện hình dung không gian xuất sắc: mỗi mảnh có thể xoay và lật thành tối đa tám hướng, và người giải phải "thấy" trước mảnh nào vừa chỗ trống nào. Bài này giải thích họ polyomino, các bài toán xếp kín nổi tiếng, và cách bắt đầu.
Họ polyomino
Năm 1953, Solomon Golomb, khi đó là nghiên cứu sinh ở Harvard, đặt ra từ "polyomino" cho những hình ghép từ các ô vuông nối cạnh, theo mẫu của từ "domino" (hai ô). Số lượng tăng rất nhanh khi thêm ô:
| Số ô | Tên | Số hình (không tính xoay, lật) |
|---|---|---|
| 1 | Monomino | 1 |
| 2 | Domino | 1 |
| 3 | Tromino | 2 |
| 4 | Tetromino | 5 |
| 5 | Pentomino | 12 |
| 6 | Hexomino | 35 |
| 7 | Heptomino | 108 |
| 8 | Octomino | 369 |
Đến nay chưa có công thức nào tính được số polyomino n ô cho mọi n; người ta chỉ đếm được bằng máy tính tới vài chục ô. Trong 35 hexomino, đúng 11 hình là hình trải của hình lập phương, như đã kể trong bài về hình trải.
Golomb viết cuốn Polyominoes (1965), và các bài trên chuyên mục của Martin Gardner trong tạp chí Scientific American từ năm 1957 đã làm pentomino nổi tiếng khắp thế giới. Ý tưởng ghép ô vuông thực ra đã xuất hiện trước đó trong các câu đố của Henry Dudeney đầu thế kỷ 20.
Mười hai pentomino
- I: năm ô thẳng hàng. Chỉ có hai hướng.
- X: hình chữ thập. Chỉ có một hướng, vì đối xứng hoàn toàn.
- L, N, P, Y, F: không có đối xứng gương, nên mỗi mảnh có tám hướng khác nhau (bốn xoay × hai mặt).
- T, U, V, W, Z: có ít nhất một kiểu đối xứng, nên có ít hướng hơn.
Khi giải, người mới hay quên rằng mảnh có thể lật mặt. Mảnh L lật mặt trông như một chữ L ngược; mảnh N lật thành N ngược. Nhận ra một mảnh ở mọi hướng là kỹ năng xoay hình trong đầu thuần tuý.
Những bài toán xếp kín nổi tiếng
| Hình cần xếp | Số cách (không tính xoay, lật cả hình) | Ghi chú |
|---|---|---|
| Chữ nhật 6 × 10 | 2.339 | Được C. B. Haselgrove và Jenifer Haselgrove dùng máy tính đếm đủ năm 1960 |
| Chữ nhật 5 × 12 | 1.010 | |
| Chữ nhật 4 × 15 | 368 | |
| Chữ nhật 3 × 20 | 2 | Rất khó tìm bằng tay |
| Bàn cờ 8 × 8 khuyết ô vuông 2 × 2 ở giữa | 65 | Dana Scott dùng máy tính giải năm 1958, một trong những bài toán tổ hợp đầu tiên giải bằng máy |
Bài 3 × 20 là ví dụ thú vị: hình chữ nhật trông "đơn giản" nhất lại khó nhất, vì quá hẹp, mảnh nào đặt sai một chỗ là cả dãy phía sau bế tắc.
Không thể xếp 2 × 30
Hình chữ nhật 2 × 30 có diện tích 60 nhưng không xếp được, vì nhiều mảnh như X, T, F không thể nằm vừa một dải rộng hai ô. Nhận ra những điều "không thể" như vậy trước khi thử là một phần của tư duy hình học.
Chiến lược hình dung khi xếp
- Đặt mảnh khó trước. Mảnh X chỉ có một hướng và không thể đặt ở cạnh hay góc mà không tạo ra khoảng trống chết. Nhiều người giải đặt X sớm, ở vị trí gần giữa.
- Lấp góc bằng mảnh "góc tốt". Các mảnh V, L, P, U lấp góc hình chữ nhật tốt.
- Tránh tạo ô trống bị cô lập. Nếu một vùng trống có số ô không chia hết cho 5, chắc chắn bế tắc. Đếm ô các vùng trống sau mỗi bước.
- Xếp từ một phía. Lấp dần từ trái qua phải giúp kiểm soát hình dạng phần còn lại.
- Thử trong đầu trước khi đặt tay. Cầm mảnh, nhìn chỗ trống, xoay mảnh trong đầu tới khi thấy vừa, rồi mới đặt.
Pentomino trong văn hoá và khoa học
- Nhà văn khoa học viễn tưởng Arthur C. Clarke đưa pentomino vào tiểu thuyết Imperial Earth (1976), nơi nhân vật chính được ông nội tặng một bộ pentomino và say mê bài toán 6 × 10.
- Các nhà khoa học máy tính dùng bài toán pentomino để thử nghiệm thuật toán tìm kiếm. Donald Knuth dùng nó minh hoạ cho kỹ thuật "Dancing Links" (năm 2000).
- Trong giáo dục, pentomino dạy chu vi và diện tích: cả 12 mảnh có cùng diện tích 5 ô, nhưng chu vi khác nhau (mảnh P có chu vi 10, các mảnh khác chu vi 12).
- Pentacube là phiên bản ba chiều, gồm năm khối lập phương. Có 29 pentacube (nếu tính cả cặp ảnh gương), dùng để xếp kín các khối hộp.
Góc nhìn hôm nay: tự làm và luyện
- Tìm đủ 12 mảnh: trên giấy kẻ ô, tự vẽ mọi cách ghép năm ô liền cạnh. Loại hình trùng (xoay, lật). Có đủ 12 không? Nếu ra 13 là có hai hình trùng nhau.
- Cắt bộ pentomino từ bìa cứng, mỗi ô 2 cm. Tô mỗi mảnh một màu.
- Bắt đầu với 5 × 12 (dễ hơn 6 × 10 một chút với người mới), rồi 6 × 10.
- Bài luyện xoay hình: nhắm mắt, cầm một mảnh, đoán là mảnh nào chỉ bằng tay. Rồi tưởng tượng lật nó và đoán hình dạng mới.
- Thử thách cho cả nhà: mỗi người lấy 6 mảnh, ghép thành hình chữ nhật 5 × 6. Ai cũng tìm được không?
Câu hỏi thường gặp
Pentomino là gì?
Pentomino là hình ghép từ năm ô vuông bằng nhau nối liền cạnh. Có đúng 12 pentomino khác nhau, thường đặt tên theo các chữ cái F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z. Solomon Golomb đặt tên và phổ biến chúng từ năm 1953.
Có bao nhiêu cách xếp 12 pentomino thành hình chữ nhật 6 × 10?
Có đúng 2.339 cách, không tính các cách chỉ khác nhau do xoay hay lật cả hình chữ nhật. Con số này được đếm đầy đủ bằng máy tính năm 1960.
Hình chữ nhật nào khó xếp nhất bằng pentomino?
Hình chữ nhật 3 × 20 chỉ có đúng 2 cách xếp nên rất khó tìm bằng tay. Hình 2 × 30 thì không xếp được vì nhiều mảnh như X, T không vừa dải rộng hai ô.
Polyomino là gì?
Polyomino là tên chung cho các hình ghép từ nhiều ô vuông nối liền cạnh: domino hai ô, tromino ba ô, tetromino bốn ô, pentomino năm ô, hexomino sáu ô. Số hình tăng rất nhanh khi thêm ô.
Chơi pentomino rèn kỹ năng gì?
Pentomino rèn kỹ năng xoay hình và lật hình trong đầu, khả năng nhìn trước hình dạng chỗ trống, và tư duy loại trừ những cách xếp không thể. Nó cũng giúp học diện tích và chu vi một cách trực quan.