Tangram: bảy mảnh ghép, nghìn hình và cách hình dung khi giải

Tangram (ở Trung Hoa gọi là "thất xảo bản", nghĩa là bảy tấm khéo léo) là câu đố gồm bảy mảnh cắt từ một hình vuông: năm tam giác vuông cân (hai to, một vừa, hai nhỏ), một hình vuông và một hình bình hành. Người chơi phải dùng đủ cả bảy mảnh, không chồng lên nhau, để ghép thành một hình cho trước chỉ biết đường viền: con mèo, người chạy, ngôi nhà, con thuyền. Câu đố được ghi chép trong sách Trung Hoa đầu thế kỷ 19 rồi gây sốt ở châu Âu từ khoảng năm 1817.

Tangram là một trong những câu đố hình học đơn giản nhất về dụng cụ nhưng sâu nhất về hình dung không gian. Bài này kể lịch sử, giải thích những quan hệ hình học giữa bảy mảnh, và gợi ý cách luyện.

Bảy mảnh và quan hệ giữa chúng

Lấy một hình vuông cạnh 4 đơn vị (diện tích 16). Bảy mảnh có kích thước:

Tổng: 4 + 4 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 = 16. Mọi mảnh đều ghép được từ tam giác nhỏ: tam giác lớn bằng bốn tam giác nhỏ, ba mảnh vừa (tam giác vừa, hình vuông, hình bình hành) mỗi mảnh bằng hai. Mọi góc của các mảnh đều là 45, 90 hoặc 135 độ. Hiểu những quan hệ này giúp đoán nhanh mảnh nào có thể thay mảnh nào trong một hình.

Lịch sử: từ Trung Hoa ra thế giới

• Nguồn gốc: người ta thường kể tangram có từ hàng nghìn năm, nhưng bằng chứng chắc chắn sớm nhất là các sách hướng dẫn in ở Trung Hoa vào đầu thế kỷ 19, như một cuốn thường được ghi năm 1813. Có thể câu đố liên quan tới các bộ bàn ghép (yến kỷ đồ) thời Tống, nhưng mối liên hệ này còn được tranh luận.
• Khoảng 1815 – 1817: tangram theo tàu buôn tới châu Âu và Mỹ, gây cơn sốt ở Anh, Pháp, Đức, Mỹ. Nhiều sách hình mẫu được in.
• Những giai thoại: có lời kể Napoléon chơi tangram khi bị lưu đày ở đảo Saint Helena, và nhà văn Lewis Carroll (tác giả Alice ở xứ sở thần tiên) có một cuốn sách tangram. Mức độ xác thực của các giai thoại này khác nhau, nên nghe vui là chính.
• Giai thoại "4000 năm" và "ông Tan": năm 1903, nhà sáng tác câu đố Mỹ Sam Loyd in sách kể tangram do một ông "Tan" sáng tạo từ 4000 năm trước. Câu chuyện này là bịa, Loyd nổi tiếng với những trò đùa như vậy, nhưng nó lan rộng tới mức đến nay vẫn gặp trên mạng.
• Tên "tangram": nguồn gốc của từ tiếng Anh này không chắc chắn; nó xuất hiện ở Mỹ đầu thế kỷ 19.

Hình dung khi giải tangram

Đề tangram chỉ cho đường viền đen, không có đường chia bên trong. Người giải phải hình dung bảy mảnh có thể xếp thế nào để lấp kín hình. Những chiến lược hay dùng:

1. Đặt hai tam giác lớn trước. Chúng chiếm một nửa diện tích, nên vị trí của chúng quyết định gần hết hình. Tìm những vùng lớn trong đề có góc vuông hoặc cạnh dài, thường là chỗ của tam giác lớn.
2. Tìm góc nhọn 45 độ. Mọi đỉnh nhọn 45 độ trên đường viền phải là đỉnh của một tam giác hoặc của hình bình hành.
3. Để hình bình hành sau cùng hoặc gần cuối. Đây là mảnh "khó tính" nhất vì không đối xứng gương; nếu hướng nghiêng sai, phải lật mặt.
4. Tính diện tích. Nếu một vùng trong hình có diện tích bằng hai tam giác nhỏ, nó có thể là tam giác vừa, hình vuông hoặc hình bình hành, hoặc hai tam giác nhỏ.

Nghịch lý tangram

Có những cặp hình tangram trông gần giống hệt nhau, nhưng một hình bị "thiếu" một mẩu, như hai người đứng giống nhau mà một người không có chân. Cả hai đều dùng đủ bảy mảnh. Lời giải: các mảnh được xếp hơi khác nhau, khiến phần thân của hình kia to hơn một chút, bù lại chỗ thiếu. Henry Dudeney, nhà sáng tác câu đố người Anh, đã đưa ra những nghịch lý nổi tiếng kiểu này. Đây là bài học về việc mắt rất kém trong việc so sánh diện tích của những hình có hình dạng khác nhau.

Toán học trong tangram

• Hình lồi: năm 1942, hai nhà toán học Trung Quốc Fu Traing Wang và Chuan-Chih Hsiung chứng minh rằng bảy mảnh tangram chỉ ghép được đúng 13 hình đa giác lồi khác nhau (gồm hình vuông, hình chữ nhật, tam giác, hình bình hành, hình thang, ngũ giác và lục giác).
• Định lý Pythagoras: sắp các mảnh khác nhau có thể minh hoạ trực quan nhiều quan hệ diện tích.
• Phân số: giáo viên dùng tangram để dạy phân số: tam giác lớn là một phần tư, tam giác nhỏ là một phần mười sáu của hình vuông.

Tangram và trẻ em

Tangram được dùng nhiều trong giáo dục mầm non và tiểu học vì nó đơn giản, an toàn, không cần pin hay màn hình. Các nghiên cứu về ghép hình ở trẻ nhỏ, như nghiên cứu năm 2012 của Susan Levine và cộng sự, cho thấy trẻ chơi ghép hình nhiều hơn khi nhỏ có điểm bài thử biến đổi hình không gian cao hơn ở tuổi lên năm. Với trẻ mới bắt đầu, nên dùng đề có vẽ sẵn đường chia bên trong, rồi dần chuyển sang đề chỉ có đường viền.

Mục tiêu là để trẻ khám phá và vui, không phải chấm điểm hay thi xem ai nhanh hơn.

Góc nhìn hôm nay: làm bộ tangram trong năm phút

1. Lấy một tờ bìa vuông, kẻ lưới 4 × 4 ô.
2. Kẻ một đường chéo từ góc trên trái tới góc dưới phải.
3. Từ trung điểm cạnh trên, kẻ tới trung điểm cạnh phải.
4. Từ góc dưới trái, kẻ một đoạn vuông góc với đường chéo tới đúng tâm hình vuông, rồi kéo tiếp tới đoạn vừa kẻ ở bước 3.
5. Kẻ thêm hai đoạn ngắn để tách hình vuông nhỏ và hình bình hành (có nhiều hình mẫu trên mạng để đối chiếu). Cắt theo các đường, được bảy mảnh.
6. Thử ghép lại thành hình vuông ban đầu mà không nhìn hình mẫu. Đây đã là một bài khó với nhiều người lớn.
7. Sau đó thử các hình: con mèo, con thỏ, chữ cái, ngôi nhà. Và tự sáng tác hình của riêng bạn rồi đố người khác.