Fractal là gì: hình tự lặp lại khi phóng to, từ bông tuyết Koch đến súp lơ

Fractal là hình có tính tự đồng dạng: phóng to một phần nhỏ, ta lại thấy một hình giống (hoặc gần giống) cả hình ban đầu, và cứ thế ở nhiều tỉ lệ. Bông tuyết Koch, tam giác Sierpiński, cây dương xỉ, súp lơ Romanesco, đường bờ biển, mạch máu đều mang tính chất này. Nhà toán học Benoît Mandelbrot đặt ra từ "fractal" năm 1975, từ gốc Latinh fractus nghĩa là "vỡ, gãy", và chỉ ra rằng nhiều hình dạng của tự nhiên không phải đường thẳng, hình tròn hay khối lập phương mà là fractal.

Fractal thử thách trí tưởng tượng không gian theo một cách đặc biệt: một đường cong có thể dài vô hạn mà bao một diện tích hữu hạn, một hình có thể có "1,26 chiều". Bài này giải thích những fractal cổ điển, khái niệm chiều fractal, và fractal quanh ta.

Những fractal cổ điển

Các fractal cuối thế kỷ 19, đầu thế kỷ 20 ban đầu bị nhiều nhà toán học coi là "quái vật", những ví dụ kỳ quặc phá vỡ trực giác. Mandelbrot là người biến chúng thành một ngành, khi chỉ ra chúng mô tả tự nhiên tốt hơn hình học Euclid.

Bông tuyết Koch: chu vi vô hạn, diện tích hữu hạn

Bắt đầu với một tam giác đều. Mỗi bước, mỗi cạnh được thay bằng bốn đoạn, mỗi đoạn dài một phần ba cạnh cũ. Vậy chu vi nhân với 4/3 sau mỗi bước:

• Bước 0: chu vi 3 (lấy cạnh bằng 1).
• Bước 1: 4.
• Bước 2: khoảng 5,33.
• Bước 10: khoảng 53.
• Bước 100: khoảng 9 nghìn tỉ.

Chu vi tăng mãi không giới hạn. Trong khi đó, diện tích chỉ tăng thêm những mảnh ngày càng nhỏ và tiến tới một giới hạn: đúng 8/5 diện tích tam giác ban đầu. Bông tuyết Koch vẽ được trong một vòng tròn vừa với tờ giấy, nhưng đường viền của nó dài vô tận. Đây là một trong những hình ảnh khó tin nhất mà trí tưởng tượng không gian có thể chạm tới.

Bờ biển nước Anh dài bao nhiêu

Năm 1967, Mandelbrot công bố bài báo nổi tiếng trên tạp chí Science: "How long is the coast of Britain?" (Bờ biển nước Anh dài bao nhiêu?). Ông dựa trên công trình của nhà khoa học Lewis Fry Richardson, người nhận thấy độ dài đo được của đường biên giới và bờ biển phụ thuộc vào "thước đo":

• Đo bằng thước dài 100 km, ta bỏ qua mọi vịnh nhỏ, được một con số.
• Đo bằng thước 10 km, ta đi vào các vịnh, được con số lớn hơn.
• Đo bằng thước 1 m, đi vòng qua từng tảng đá, con số còn lớn hơn nữa.

Với đường bờ biển gồ ghề, độ dài cứ tăng khi thước nhỏ đi, không hội tụ về một con số. Câu hỏi "dài bao nhiêu" chỉ có nghĩa khi nói rõ thước đo. Bờ biển Việt Nam thường được nêu là khoảng 3.260 km; con số này là kết quả của một cách đo cụ thể ở một tỉ lệ bản đồ nhất định.

Chiều fractal: hình có 1,26 chiều

Đường thẳng có 1 chiều, mặt phẳng có 2 chiều, khối có 3 chiều. Một cách định nghĩa chiều: phóng một hình lên k lần, nếu nó gồm k^D bản sao của chính nó thì chiều của nó là D.

• Đoạn thẳng phóng 3 lần gồm 3 = 3¹ đoạn cũ: chiều 1.
• Hình vuông phóng 3 lần gồm 9 = 3² hình vuông cũ: chiều 2.
• Đường Koch phóng 3 lần gồm 4 bản sao: 3^D = 4, nên D = log 4 / log 3 ≈ 1,26.
• Tam giác Sierpiński phóng 2 lần gồm 3 bản sao: D = log 3 / log 2 ≈ 1,585.
• Bọt biển Menger phóng 3 lần gồm 20 bản sao: D ≈ 2,73.

Chiều fractal nằm giữa các số nguyên: đường Koch "hơn một đường nhưng kém một mặt". Bờ biển nước Anh được ước tính có chiều fractal khoảng 1,25; bờ biển phẳng phiu hơn có chiều gần 1 hơn.

Fractal trong tự nhiên

• Súp lơ Romanesco: mỗi bông con là một hình xoắn nhọn giống hệt cả cây, và trên mỗi bông con lại có những bông nhỏ hơn. Đây là một trong những fractal tự nhiên đẹp nhất.
• Lá dương xỉ: mỗi nhánh lá giống cả lá thu nhỏ.
• Cây và sông: thân chia thành cành, cành thành nhánh nhỏ; sông lớn nhận phụ lưu, phụ lưu nhận suối.
• Phổi và mạch máu: phế quản chia nhánh khoảng hai mươi lần thành những túi phế nang nhỏ, cho diện tích trao đổi khí rất lớn trong một thể tích nhỏ.
• Tia sét, vết nứt, bông tuyết: đều có cấu trúc phân nhánh tự đồng dạng ở một khoảng tỉ lệ nhất định.

Cần lưu ý: fractal trong tự nhiên chỉ tự đồng dạng trong một khoảng tỉ lệ, không vô hạn như fractal toán học. Phóng to súp lơ đủ nhiều, ta sẽ gặp tế bào, không còn bông con nào nữa.

Fractal trong công nghệ và nghệ thuật

• Ăng-ten fractal: dạng ăng-ten hình fractal giúp thu nhiều dải tần trong kích thước nhỏ, dùng trong một số điện thoại và thiết bị không dây.
• Đồ hoạ máy tính: núi non, mây, bờ biển trong phim hoạt hình và hiệu ứng điện ảnh thường được tạo bằng thuật toán fractal, vì chỉ cần vài quy tắc đơn giản là ra hình chi tiết vô tận.
• Nghệ thuật: các nhà nghiên cứu như Richard Taylor từng phân tích tranh nhỏ giọt của Jackson Pollock và đề xuất chúng có đặc tính fractal; đề xuất này gây tranh luận và không được tất cả các nhà nghiên cứu chấp nhận.

Góc nhìn hôm nay: tự vẽ fractal

1. Tam giác Sierpiński bằng giấy: vẽ tam giác đều lớn, nối trung điểm, tô đen tam giác giữa. Lặp lại với ba tam giác trắng còn lại, rồi chín tam giác, hai mươi bảy tam giác. Sau bốn, năm bước, hình đã rất đẹp.
2. Bông tuyết Koch: vẽ trên giấy kẻ ô tam giác, mỗi bước thêm các mũi nhọn. Đếm số cạnh và tính chu vi ở mỗi bước.
3. Đo bờ biển: in bản đồ một đoạn bờ biển quen như vịnh Hạ Long hay một bán đảo. Dùng compa mở các khoảng 2 cm, 1 cm, 0,5 cm để "bước" dọc bờ biển, đếm số bước. Bạn sẽ thấy độ dài đo được tăng khi bước nhỏ lại.
4. Quan sát: mua một bông súp lơ xanh hoặc Romanesco nếu có, bẻ từng bông con, so với cả bông lớn.

Cuốn The Fractal Geometry of Nature (1982) của Mandelbrot là tác phẩm kinh điển, nhiều hình ảnh, dù phần toán khá nặng. Có nhiều phần mềm và trang web miễn phí cho phép phóng to tập Mandelbrot trực tiếp.