Hình cầu là mặt cong mà mọi điểm cách đều tâm; hình xuyến là mặt hình chiếc bánh vòng, sinh ra khi quay một đường tròn quanh một trục nằm ngoài nó. Hai mặt này khác nhau tận gốc: hình cầu không có lỗ, hình xuyến có một lỗ, và không cách nào nắn cái này thành cái kia mà không xé rách. Bên cạnh chúng còn có mặt yên ngựa, mặt parabol, elipxoit, những mặt cong ta gặp hằng ngày trong chảo ăng-ten, mái nhà, miếng khoai tây chiên.
Bài này giúp bạn hình dung các mặt cong quen thuộc, hiểu vì sao bọt xà phòng luôn tròn, và nhận ra "độ cong" theo cách nhà toán học nhìn.
Hình cầu: hình tiết kiệm nhất
Trong mọi hình có cùng thể tích, hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất. Đây là lý do:
- Bọt xà phòng và giọt nước co về dạng cầu, vì sức căng bề mặt kéo màng về diện tích nhỏ nhất.
- Hành tinh và ngôi sao lớn gần tròn, vì lực hấp dẫn kéo mọi phần về phía tâm.
- Mèo ngủ cuộn tròn khi lạnh, giảm phần da tiếp xúc với không khí.
Archimedes và hình cầu trong hình trụ
Archimedes chứng minh rằng thể tích hình cầu bằng hai phần ba thể tích hình trụ ngoại tiếp nó (hình trụ có đường kính và chiều cao bằng đường kính cầu), và diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của chính hình trụ đó. Ông tự hào về kết quả này đến mức muốn khắc hình cầu trong hình trụ lên mộ mình. Nhà hùng biện La Mã Cicero kể rằng năm 75 trước Công nguyên, khi làm quan ở Sicily, ông tìm thấy ngôi mộ bị cỏ dại che phủ nhờ nhận ra hình khắc đó.
Công thức quen thuộc: thể tích V = 4πr³/3, diện tích S = 4πr². Mẹo nhớ diện tích: bằng đúng bốn lần diện tích hình tròn lớn của quả cầu. Cắt đôi quả cam, bạn có thể lấy vỏ của nửa quả phủ kín đúng hai hình tròn cùng bán kính, nếu chịu khó xé nhỏ.
Hình xuyến: chiếc phao và chiếc bánh vòng
Lấy một đường tròn bán kính r, đặt cách một trục một khoảng R lớn hơn r, rồi quay nó một vòng quanh trục: ta được hình xuyến. Phao bơi, bánh donut, vòng bi, nhẫn đều có dạng này.
| Đặc điểm | Hình cầu | Hình xuyến |
|---|---|---|
| Số lỗ xuyên qua | 0 | 1 |
| Đặc trưng Euler (Đ − C + M) | 2 | 0 |
| Một vòng dây trên mặt có luôn co lại được thành điểm không | Có | Không (vòng quanh lỗ không co được) |
| Chải "lông" trên mặt cho mượt khắp nơi | Không thể, luôn có một xoáy | Làm được |
| Thể tích | 4πr³/3 | 2π²Rr² |
Định lý quả bóng lông
Dòng thứ tư nói về một định lý có tên vui: định lý "quả bóng lông" (hairy ball theorem), được chứng minh trọn vẹn đầu thế kỷ 20. Nếu một quả cầu phủ lông, bạn không thể chải cho mọi sợi nằm rạp mà không có chỗ nào bị xoáy hay dựng đứng. Hệ quả thú vị: trên Trái Đất, luôn có ít nhất một điểm gió ngang bằng không. Nhưng trên hình xuyến thì chải mượt được: tưởng tượng mọi sợi lông nằm theo vòng quanh phao.
Vì sao gọi là "hình dạng tô pô" khác nhau
Nhà tô pô học có câu đùa: họ không phân biệt được chiếc cốc cà phê có quai với chiếc bánh donut. Lý do: nếu làm bằng đất sét dẻo, có thể nắn từ từ cốc có quai thành bánh vòng mà không cần chọc lỗ mới hay xé rách, vì cả hai đều có đúng một lỗ. Nhưng không thể nắn quả bóng thành bánh vòng.
Những mặt cong khác nên biết
Mặt yên ngựa (paraboloid hyperbolic)
Theo một hướng nó cong lên, theo hướng vuông góc nó cong xuống, như yên ngựa hay đèo núi. Miếng khoai tây chiên dạng ống của một số hãng bánh có đúng hình dạng này, giúp chúng xếp chồng khít mà không gãy. Điều kỳ diệu: dù cong, mặt này được tạo hoàn toàn bằng các đường thẳng. Kiến trúc sư dùng nó làm mái vỏ mỏng, vì có thể đổ bê tông trên ván khuôn thẳng.
Mặt parabol tròn xoay
Quay một parabol quanh trục của nó. Mọi tia song song với trục chiếu vào mặt này đều phản xạ về một điểm gọi là tiêu điểm. Vì vậy chảo thu sóng vệ tinh, kính thiên văn phản xạ, đèn pha ô tô dùng mặt parabol.
Elipxoit
Hình quả trứng dẹt hoặc quả bóng bầu dục mềm. Trái Đất thật ra hơi dẹt ở hai cực, gần với một elipxoit hơn là hình cầu hoàn hảo: bán kính xích đạo dài hơn bán kính cực khoảng 21 cây số.
Độ cong: cách nhà toán học đo
Tại mỗi điểm trên mặt cong, ta có thể đo hai độ cong theo hai hướng chính. Nhân hai số này lại, được độ cong Gauss:
- Dương khi hai hướng cong cùng phía, như mặt cầu, quả trứng.
- Bằng không khi một hướng thẳng, như mặt trụ, mặt nón. Những mặt này trải phẳng được mà không méo.
- Âm khi hai hướng cong ngược phía, như yên ngựa, phần trong của chiếc phao.
Mẹo thực hành: cầm một miếng pizza mềm mà mũi cứ rủ xuống, gập nhẹ mép miếng bánh thành hình máng. Một hướng giờ đã cong, nên theo hướng kia mặt bánh buộc phải thẳng, mũi bánh không rủ nữa. Đó là định lý của Gauss áp dụng trên bàn ăn.
Góc nhìn hôm nay: tìm mặt cong quanh nhà
- Tìm năm vật có mặt cong khác nhau: quả bóng, phao bơi, chảo, vỏ chai, ống nước. Xếp chúng vào ba nhóm độ cong dương, không, âm.
- Thử bọc từng vật bằng một tờ giấy phẳng không nhăn. Ống nước bọc được (độ cong bằng không), quả bóng thì không.
- Thổi bong bóng xà phòng qua khung dây hình vuông, hình tròn. Màng xà phòng luôn tìm diện tích nhỏ nhất, đôi khi tạo ra mặt yên ngựa đẹp mắt.
- Nặn một chiếc cốc có quai bằng đất sét, rồi thử nắn từ từ thành bánh vòng mà không chọc lỗ mới.
Câu hỏi thường gặp
Hình xuyến là gì?
Hình xuyến là mặt cong dạng chiếc bánh vòng hay phao bơi, tạo ra khi quay một đường tròn quanh một trục nằm ngoài đường tròn đó. Nó có đúng một lỗ xuyên qua và đặc trưng Euler bằng 0.
Vì sao bong bóng xà phòng luôn hình cầu?
Vì sức căng bề mặt kéo màng xà phòng về diện tích nhỏ nhất, và với cùng thể tích, hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất. Khi bị kẹp trong khung dây, màng sẽ tạo mặt có diện tích nhỏ nhất ứng với khung đó.
Thể tích hình cầu bằng bao nhiêu phần hình trụ ngoại tiếp?
Bằng hai phần ba. Archimedes chứng minh điều này và còn chỉ ra diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp. Ông muốn khắc hình này lên mộ mình.
Vì sao nhà tô pô học coi chiếc cốc giống bánh donut?
Vì cả hai đều có đúng một lỗ xuyên qua. Nếu làm bằng đất sét dẻo, có thể nắn cốc có quai thành bánh vòng mà không xé rách hay chọc thêm lỗ.
Mặt yên ngựa là gì?
Là mặt cong theo một hướng cong lên, theo hướng vuông góc cong xuống, như yên ngựa hay đèo núi. Nó có độ cong âm và tạo được từ các đường thẳng, nên kiến trúc sư dùng làm mái vỏ mỏng.