Siêu lập phương (tesseract) là "hình lập phương bốn chiều": nó có 16 đỉnh, 32 cạnh, 24 mặt vuông và 8 "ô" là những hình lập phương. Ta không thể nhìn thấy nó trực tiếp, nhưng có thể hình dung qua bóng chiếu của nó xuống không gian ba chiều, thường vẽ thành một hình lập phương nhỏ nằm trong hình lập phương lớn, các đỉnh nối với nhau. Cách hiểu tốt nhất là đi từng bậc: điểm, đoạn thẳng, hình vuông, hình lập phương, rồi tới siêu lập phương.
Đây là bài thử thách nhất với trí tưởng tượng không gian. Không ai thực sự "thấy" được bốn chiều, nhưng ai cũng có thể suy luận về nó, và chính quá trình suy luận đó rèn khả năng hình dung rất tốt.
Thang bậc từ không chiều đến bốn chiều
Mỗi bậc được tạo bằng cách lấy hình ở bậc trước, kéo nó theo một hướng mới vuông góc với mọi hướng cũ, rồi nối các điểm tương ứng:
| Số chiều | Hình | Đỉnh | Cạnh | Mặt vuông | Khối lập phương |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Điểm | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | Đoạn thẳng | 2 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | Hình vuông | 4 | 4 | 1 | 0 |
| 3 | Hình lập phương | 8 | 12 | 6 | 1 |
| 4 | Siêu lập phương | 16 | 32 | 24 | 8 |
Đếm thế nào cho ra 16, 32, 24, 8
- Đỉnh: kéo hình lập phương đi, ta có hình lập phương cũ và hình lập phương mới, mỗi cái 8 đỉnh: 16.
- Cạnh: 12 cạnh của khối cũ, 12 cạnh của khối mới, cộng 8 cạnh nối các đỉnh tương ứng: 32.
- Mặt vuông: 6 mặt của khối cũ, 6 của khối mới, cộng mỗi cạnh cũ khi kéo đi tạo thêm một mặt: 12. Tổng 24.
- Khối lập phương: khối cũ, khối mới, và mỗi mặt vuông cũ khi kéo đi tạo một khối: 6. Tổng 8.
Với khối n chiều, số đỉnh là 2n. Quy luật này cho phép ta "biết" về siêu lập phương mà không cần nhìn thấy nó.
Cách người phẳng hình dung hình lập phương
Năm 1884, Edwin Abbott Abbott, hiệu trưởng một trường học ở London, viết tiểu thuyết ngắn Flatland (Thế giới phẳng). Nhân vật chính là một Hình Vuông sống trong thế giới hai chiều, không hiểu nổi "chiều cao" là gì. Một hôm, một Quả Cầu từ thế giới ba chiều đi xuyên qua mặt phẳng của anh. Hình Vuông chỉ thấy một chấm xuất hiện, lớn dần thành đường tròn, rồi thu nhỏ và biến mất.
Câu chuyện là bài học về cách ta tiếp cận bốn chiều. Ta ở vị trí của Hình Vuông. Ta không thấy được siêu lập phương, nhưng có ba cách để "thấy" phần nào:
- Lát cắt: như Hình Vuông thấy lát cắt của Quả Cầu, ta có thể hình dung lát cắt ba chiều của siêu lập phương khi nó đi qua không gian của ta.
- Bóng chiếu: như bóng một hình lập phương dây thép in lên tường thành hai hình vuông lồng nhau, bóng của siêu lập phương chiếu xuống ba chiều là hai hình lập phương lồng nhau.
- Hình trải: như hình lập phương trải phẳng thành sáu hình vuông, siêu lập phương "trải" vào ba chiều thành tám hình lập phương ghép lại.
Bóng chiếu: hình lập phương trong hình lập phương
Lấy một hình lập phương dây thép, chiếu đèn từ phía trước lên tường. Bóng là một hình vuông lớn (mặt gần) chứa một hình vuông nhỏ (mặt xa), bốn đường chéo nối các góc. Hai hình vuông kia thật ra bằng nhau, chỉ trông khác do phối cảnh. Bốn hình thang quanh viền cũng là bốn mặt vuông bị bóp méo.
Áp dụng y hệt cho bốn chiều: bóng của siêu lập phương là một hình lập phương lớn chứa hình lập phương nhỏ, tám đỉnh nối nhau. Sáu khối hình chóp cụt quanh viền thật ra là sáu hình lập phương bị bóp méo. Tổng cộng: lớn, nhỏ và sáu khối viền, đủ tám hình lập phương.
Các hình động trên mạng cho thấy siêu lập phương "xoay": khối nhỏ lớn dần, lật ra ngoài, khối lớn thu vào trong. Đó là bóng của một vật xoay trong bốn chiều, tương tự bóng hình lập phương xoay khiến hình vuông nhỏ chuyển dần ra ngoài.
Hình trải: tám khối lập phương
Kiểu trải nổi tiếng nhất là một cột bốn khối lập phương xếp chồng, quanh khối thứ hai gắn thêm bốn khối ở bốn mặt bên: tổng cộng tám khối, trông như một cây thánh giá ba chiều. Gấp nó lại trong bốn chiều, khối thứ nhất và khối thứ ba của cột sẽ thành hai ô đối diện, giống quy tắc hai ô cách một ô trên hình trải hình lập phương. Năm 1954, Salvador Dalí vẽ bức Corpus Hypercubus dựa đúng trên hình trải này, hiện treo ở Bảo tàng Metropolitan, New York.
Hình lập phương có 11 hình trải. Siêu lập phương có 261 hình trải khác nhau, con số được Peter Turney tính ra năm 1984.
Lịch sử ngắn của chiều thứ tư
- Thế kỷ 19: các nhà toán học như Ludwig Schläfli nghiên cứu khối đa diện đều nhiều chiều. Ông tìm ra có đúng sáu "khối Platon" bốn chiều.
- 1888: Charles Howard Hinton đặt ra từ "tesseract" trong cuốn A New Era of Thought. Ông còn làm bộ khối lập phương màu để luyện hình dung bốn chiều.
- Đầu thế kỷ 20: ý tưởng chiều thứ tư lan sang hội hoạ. Một số hoạ sĩ Lập thể và tiền phong say mê đề tài này.
- 1908: Hermann Minkowski trình bày không – thời gian bốn chiều cho thuyết tương đối hẹp của Einstein.
Thời gian có phải chiều thứ tư không
Trong vật lý tương đối, thời gian được coi là một chiều của không – thời gian, nhưng nó khác ba chiều không gian về cách đo khoảng cách. Siêu lập phương trong bài này là bốn chiều không gian thuần tuý, khái niệm toán học, không liên quan trực tiếp tới thời gian. Hai ý này hay bị trộn lẫn trong phim và truyện.
Góc nhìn hôm nay: dựng và luyện
- Dựng bóng chiếu: dùng ống hút và que nối, làm một hình lập phương lớn, bên trong một hình lập phương nhỏ, rồi nối tám cặp đỉnh. Đếm: 16 đỉnh, 32 cạnh. Tìm cho ra tám "khối lập phương" trong mô hình.
- Dựng hình trải: dán tám hộp giấy lập phương thành hình thánh giá ba chiều như tranh của Dalí.
- Bài tập Flatland: tưởng tượng một hình lập phương rơi xuyên qua mặt bàn theo hướng một đỉnh chúc xuống. Lát cắt trên mặt bàn biến hình thế nào? (Tam giác lớn dần, thành lục giác, rồi lại thành tam giác ngược và nhỏ dần.) Đây là cách Hình Vuông thấy hình lập phương.
Flatland đã hết bản quyền và có thể đọc miễn phí. Kiến trúc Grande Arche ở khu La Défense, Paris, khánh thành năm 1989, thường được giới thiệu là lấy ý tưởng từ hình chiếu của siêu lập phương, có thể ghé xem nếu tới Paris.
Câu hỏi thường gặp
Siêu lập phương có bao nhiêu đỉnh và cạnh?
Siêu lập phương bốn chiều có 16 đỉnh, 32 cạnh, 24 mặt vuông và 8 khối lập phương. Các số này đếm được bằng cách kéo một hình lập phương theo một hướng mới rồi nối các điểm tương ứng.
Tesseract là gì?
Tesseract là tên khác của siêu lập phương, tức khối tương tự hình lập phương trong không gian bốn chiều. Từ này do Charles Howard Hinton đặt ra năm 1888.
Làm sao hình dung được không gian bốn chiều?
Ta không nhìn trực tiếp được, nhưng có thể dùng bóng chiếu, lát cắt và hình trải xuống ba chiều, giống cách một sinh vật hai chiều hình dung hình lập phương. Bóng chiếu quen thuộc là hình lập phương nhỏ nằm trong hình lập phương lớn.
Siêu lập phương có bao nhiêu hình trải?
Có 261 hình trải khác nhau, mỗi hình gồm tám khối lập phương ghép lại trong không gian ba chiều. Bức tranh Corpus Hypercubus của Dalí dựa trên một trong các hình trải đó.
Chiều thứ tư có phải là thời gian không?
Trong thuyết tương đối, thời gian là một chiều của không – thời gian, nhưng nó khác các chiều không gian. Siêu lập phương là khái niệm hình học với bốn chiều không gian thuần tuý, không liên quan trực tiếp đến thời gian.